Простейшие задачи вариационного исчисления: учеб,-метод, пособие

1. Введение

Настоящее пособие посвящено изучению простейших задач вариацион­ного исчисления. Нами будет рассмотрены задачи с фиксированным и со свободным правыми концами. Для задачи с фиксированным правым кон­цом кроме необходимого условия первого порядка будут рассмотрены необ­ходимые условия второго порядка и достаточные условия.

Отметим, что вариационному исчислению посвящено множество работ. Некоторые из них указаны в списке литературы. Материал параграфов 2-6 следует книге [1], Материал параграфов 7, 8 изложен в соответствии с [5], Параграфы 9 и 10 следуют учебнику [7], Также отметим учебники [4], [6], они содержат необходимые условия. Важная, но трудная в освоении мо­нография [3] может быть рекомендована студентам специальности «При­кладная математика». Отметим, что для закрепления материала полезно прорешать задания из сборника задач [2],

2. Постановка задачи

Пусть X / R”, это вектор-столбец, то есть

У J

В дальнейшем вектор-столбцы будем называть просто векторами. Множе­ство п-мерных вектор-столбцов будем обозначать через ]R". Вектор-строка есть S = (sι, S2,…, Sjj), Вектор-строки будем называть Ковекторами. Мно­жество всех ковекторов будем обозначать через ]R"Q Операцию транспони­рования будем обозначать через эта операция переводит строку в столбец и наоборот. Если S / R"θ / R"", то есть произведение ковектора S на вектор т, Если т / то длина вектора T есть

Σ
1=1
srr =

г=17√

Основное внимание в данном пособии уделяется вектор-функциям, то есть функциям T й — X{T,}. Мы будем предполагать достаточную гладкость функций. Вектор-функцию T й- X(T‘) как целое мы будем обозначать Если

\ XnW /

То производная по времени функции X{T‘) есть вектор, составленный из про­изводных

/ А

кроме вектор-функций времени, мы будем рассматривать скалярные функции одного или нескольких векторных аргументов. то есть функции {i,37,n) й- f{t^x^u}. здесь - время {скалярный аргумент), ж и п - п- мерные векторы. частные производные будем обозначать через т), и соответственно. при этом мы считаем, что и - ковекторы '∂f[t,x,v') ∂f{t^x^u) ∂f[t,x,uy,f3^{t,x,u),∂x↑,∂x∙),дх.

А FF{T,X,U) ∂F(T,X,U)

∂f{t, х^и]
∂u∏.
Напомним, что если заданы функции некоторого аргумента А rr{α) и n{α), то полная производная функции F{T,,X{A},U{A‘)’) равна

-^F(T,X{A},U{A)) = F:,{T,X{A),U{A})^^^^ + Fu{T.,X{A),U{A‘)’)^-^^^^^. (1)

Принято называть функцию, которая сопоставляет функции X(‘^ число , функционалом.

(2)Простейшая задача вариационного исчисления формулируется следую­щим образом. Среди всех функций rc())[ таких, что rτ(tθ) = rτθ, X(T^) = ≈ найти функцию, минимизирующую функционал

Jι∣≈(:):

Аналогично формулируется простейшая задача вариационного исчисле­ния со свободным правым концом (задача Больца), Среди всех функций rτ()⅛: таких, что rr(Zθ) = rcθ, найти функцию, минимизирующую функционал

= F{T,X{T),X{T}}Dt +σ{X(T^)). Jt°

Значения и считаем фиксированными параметрами задачи,

В дальнейшем будем называть непрерывно дифференцируемые функции Х{ такие, что X{F^} = ≈θ, X{T^ = (для задачи с закрепленными концами) и rτ(tθ) = (для задачи со свободным правым концом) Допустимыми.

В дальнейшем будем использовать понятие метрики. Метрикой на мно­жестве X называется функция Р(х, у) такая, что

1) p(rτ, У) —>0 и P[X^ у} = тогда и только тогда, когда ж = у;

2) P{χ,y} = p{y,χy,

3) р{з;,г/) > р(х, г) + р(2:,у).

Для того чтобы найти расстояние между двумя функциями, мы исполь­зуем две метрики. Первая метрика использует лишь значение функций, вторая использует значение самих функций и их производных.

Положим,

PoW⅛!∕(^)- ψW Ч

y(t} ,+ max
' 'ч/ (/|t»,«4

Определение 1. Будем говорить, что является Сильным локаль­ным минимумом в задаче с закрепленными концами (со свободным пра­вым концом), если существует такое ε > 0, что для любой функции rτ(^ такой, что pcι(rτς(φrτ(^) < ε., выполнено неравенство ≥ Jι[rτ(^]

(ΛW≈)] ≥ ∙^2∣4^])∙

Отметим, что сильный минимум использует близость функций. Если учитывать и близость производных, то получается понятие слабого мини­мума.

Определение 2. Будем говорить, что X(J.’^ является Слабъш локальным минимумом в задаче с закрепленными концами (со свободным правым концом), если сугцествует такое ε > О, что для любой функции rr(^ та­кой, что < с. выполнено неравенство Л

Ww⅛≥⅛(^l)-

Аналогично вводятся понятия сильного и слабого локальных максиму­мов, Если функция доставляет либо локальный минимум, либо ло­кальный максимум, то говорят, что она доставляет локальный экстремум,

В некоторых задачах интерес представляет глобальный экстремум, в то же время глобальный экстремум обязательно является локальным экстре­мумом, и задача нахождения глобального экстремума может быть регнена C использованием перебора всех локальных экстремумов,

В заключение отметим связь сильного и слабого экстремума.

Предложение 1. Если хр^)^ — сильный минимум (максимум), то ^’^ — слабый минимум (максимум).

Доказательство. Мы докажем это утверждение для задачи с закреплен­ными концами, В самом деле, пусть ε таково, что для любой допустимой функции rc()), удовлетворяюпдей условию Pq{xqx{^) < ε, верно неравенство

≥ Λ[≈(^]∙ Так как Pq{X(^’^,X(‘^} > Pi{X(^’>^,X(^), то из неравенства pι(τ(2⅛^,rr(;):) < ε следует неравенство < ε. Откуда мы заклю­

Чаем, что для любой допустимой функции такой, что Р^{х(^,’^,х(Д) < ε, Верно неравенство Λ[2T(2⅛^] ≥ ^1)2:(^]. Это в точности определение слабого экстремума, □

Обратное утверждение неверно. Для того чтобы это показать, рассмот­рим пример. Мы минимизируем функционал

Л [2:(;)] = [ {2X^{T) X^[T‘)’)Dt

При условиях ≈(0) = rr(l) = О, Здесь предполагается, что X{T) является числом. Отметим, что функция ХрД) ≤ О является слабым минимумом, но

Страницы: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *