ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Учебное пособие представляет собой обработанный и дополненный курс лекций по обыкновенным дифференциальным уравнениям, читаемый автором на факультете прикладной математики и механики Пермского национального исследовательского политехнического университета.

При написании пособия использованы известные учебники и задачники В. В. Степанова [1], Б. П. Демидовича [2], Л. С. Понтрягина [3], И. Г. Малкина [4], И. Г. Петровского [5], Л. Э. Эльсгольца [6], А. Ф. Филиппова [7], Н. М. Матвеева [8], А. М. Самойленко [9].

Определение. Обыкновенным дифференциальным уравнением

Называется уравнение, связывающее независимую переменную X , искомую функцию Y = Y( X) и ее производные Y,Y",…,у(N):

F(Х,У,У‘,У"’,…,Y^(Nn)= 0 .

Функция F предполагается вещественной функцией от своих аргументов, которые также являются вещественными.

Определение. Порядок старшей производной, входящей в уравнение, называется порядком этого уравнения.

Как правило, мы будем рассматривать уравнение, разрешенное относительно старшей производной:

У ^(Nn = F (χ, Y, Y‘, Y»,…, Y(N-1)).

Задачи, приводящиеся к дифференциальным уравнениям, появились на

Рубеже XVI-XVII вв. в области вычислительной математики при создании логарифмических таблиц, а также в механике, оптике и других разделах естествознания. Сам термин «дифференциальное уравнение» ввел Лейбниц в 1676 г. в письме Ньютону.

Простейшее дифференциальное уравнение встречается в интегральном исчислении: дана функция F (Х), найти ее первообразную У(Х). Эта задача может быть записана в форме уравнения

У ‘ = F (X),

Решение которого, как известно, имеет вид

У = ∫ F (Х)Dx + C ,

Где C — произвольная постоянная. Из этой формулы следует, что наше дифференциальное уравнение имеет бесконечное множество решений, каждое из которых получится, если придать C определенное числовое значение, т. е. задать дополнительное условие, называемое начальным.

В качестве еще одного примера дифференциального уравнения рассмотрим геометрическую задачу: найти кривые, у которых тангенс угла α между касательной и положительным направлением оси OX равен абсциссе точки касания; выделить кривую, проходящую через начало

Координат.

пусть у = f (х) - уравнение искомой кривой (рис. в1).

в результате получимТогда tgα = У . По условию tgα = Х. дифференциальное уравнение

—=х или dy = xdx dx
проинтегрировав последнее равенство, будем иметь
2

Dy

+ C.

2

Таким образом, условию задачи удовлетворяет семейство парабол с вершинами на оси OY. Используем дополнительное условие У(0) = 0, откуда С = 0. Следовательно, искомой кривой является парабола

Другие задачи будут рассмотрены позже.

Глава 1. Дифференциальные уравнения первого порядка

1.1. Определения и общие свойства

Самое общее уравнение указанного типа имеет вид F( Х, у, Y‘) = 0.

Рассмотрим уравнение, разрешенное относительно производной,

У’= F (X, У) (1.1)

И начальное условие

У ( X 0 ) = У 0. (1.2)

Уравнение (1.1) вместе с условием (1.2) называется начальной задачей, или задачей Коши.

Определение. Решением, интегралом или интегральной кривой уравнения (1) называется непрерывно-дифференцируемая функция У = У(Х), удовлетворяющая этому уравнению.

Теорема (существования и единственности решения задачи Коши

(1.1)-(1.2)).

если в уравнении (1.1) функция f (х, у) и ее частная производная

∂y

∂f

Непрерывны в ограниченной замкнутой области D, содержащей точку (XQ, УО), то задача Коши (1.1)-(1.2) имеет единственное решение.

Теорема является частным случаем общей теоремы Коши — Пикара, которая будет доказана позже.

Определение. Общим решением уравнения (1.1) называется функция У = φ( Х, С), удовлетворяющая условиям:

1) эта функция удовлетворяет уравнению (1.1) при любых константах С;

2) каково бы ни было начальное условие (1.2), можно единственным образом определить С = С0 так, чтобы функция У = φ(Х, C0) удовлетворяла этому начальному условию (1.2) (предполагается, что точка (Х0, У0) ∈ D , где выполнены условия теоремы существования и единственности).

Общее решение уравнения (1.1) в неявном виде называется общим интегралом уравнения (1.1):

Φ ( Х , У , С ) = 0 .

Страницы: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *