Обратные задачи и их решения. Приложения к геофизике

ПРЕДИСЛОВИЕ

Эта книга посвящена методам решения так называемых об­ратных задач. Многочисленные обратные задачи можно найти в различных областях естествознания — физике, химии, био­логии. Если экспериментатор не и.^меет возможности непосред­ственного измерения характеристик исследуег.1ого объекта, ему приходится проводить обработку и интерпретацию всех до­ступных экспериментальных данных, решая при этом обрат­ные задачи. Так, астрофизик не может активно воздействовать на процессы, происходнщие на далеких звездах и галактиках, ему приходится делать заключения о физических характери­стиках весьма удаленных объектов по их косвенныгк1 пронвле — ниям, доступным измерениям на Земле или вблизи Земли (на космических ста1циях). Прекрасные примеры обратных задач можно найти в медицине, прежде всего нужно отметить вы­числительную (или компьютерную) томографию. Хорошо из­вестны приложения обратных задач в геофизике (на самогк1 де­ле, легче и дешевле судить о том, что де1ается под поверхно — стыо Земли, решая обратные задачи, че1.1 заниматьсн бурение1,1 глубоких скважин), радиоастрономии, спектроскопии, ядерной физике и T д., и T п. В последнее время интенсивно развива­ются методы исследования обратных задач в эконогк1ике.

Многие обратные задачи относятся к чисяу так называе­мых некорректно поставленных — при обработке приближен­ных данных, полученных, например, из эксперимента, малым изменениям входных данных могут соответствовать как угод­но большие изменения решения. Современная теория реше­ния некорректно поставленных задач, основанная на рабо­тах российских математиков — А. Н. Тихонова, В. К. Иванова, NI. 1.4. Лаврентьева и их научных школ, позволяет преодолеть возникающие трудности. Цеяь настоящей книги — познакомить читателей с основа1.1и этой теории.

Книга написана на основе курса лекций, читавшихся аля студентов физического факультета МГУ им. М. В. Ломоносо­ва. В качестве основных приложений рассматривались обрат — иые задачи геофизики. Nlатематический аппарат, описанный в первой главе, с успехом применялся д^ля решения обрат­ных задач астрофизики, обр^отки изображений, колебатель — иой спектроскопии, электронной микроскопии, акустики и мно­гих других. Поэтому книга может быть полезна д^ля студентов, аспирантов, нау^чных сотрудников, интересующихся современ­ными методами решения обратных, в том •1иа1е некорректно поставленных, задач.

Авторы благодарят Российский фонд фундаментальных ис­следований и Государственный фонд наук Китая за части^1- иу10 поддержку их совместных нау^чных исследований, резуль­таты которых отражены в данной книге (грант 12-01-91153- ГФЕН_а).

Глава 1

НЕКОРРЕКТНО ПОСТАВЛЕННЫЕ ЗАДАЧИ

§ 1 . ВВЕДЕНИЕ

В этой книге мы познакомимся с основными понятиями тео­рии так называемых некорректных (или некорректно постав­ленных) задач и численными методами решения. Основате­лем этой теории является выдающийся российский математик АидРей Николаевич Тихонов, столетие со дня рождеиия ко­торого мы отметили в 2006 г. Андрей Николаевич в течеиие многих лет заведовал кафедрой математики физического фа­культета МГУ, а в 1970 г. стал создателем и первым декаиом факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ. Важно знать, что значительная часть жизни Андрея Никола­евича была связана с геофизикой.

В 1937 г. по инициативе Отто Юльевича Шмидта был орга — низоваи Институт теоретической геофизики (ИТГ) АН СССР, директором которого он был до 1949 г. Институт создава.11- ся с целью объединения усилий физиков, математиков, гео­физиков, механиков д^ля исследования Земли современными физико-математическими методами. Сложность и практиче­ская важность изучаемых геофизикой процессов всегда при­влекали у^1еных разных специа.11ьностей. О. Ю. Шмидту уда­лось собрать в этом институте целый ряд крупных ученых: акадег.1иков А. Н. Крылова, А. Н. I<олмогорова, П. П. Лазаре­ва, Л. С. Лейбензона и в дальнейшем ставших академиками А. Н. Тихонова, Г. А. Гамбурцева, В. В. Шулейкина и др. По приглашению Отто Юльевича Андрей Николаевич с 1937 г., оставаясь в МГУ, начал работать в новом институте научным сотрудником, а затег.1 заведующим отделом г.1атег.1атической геофизики. После реорганизации ИТГ в 1946 Г. Андрей Нико­лаевич стал сотрудником Геофизического института АН СССР. В 1939 г, в возрасте 33 лет Андрей Николаевич был избран чле­ном-корреспондентом Академии наук СССР по отделению ма­тематических и естествеиных наук по специальиости «геолого-

Географические науки». (В послевоенные годы в справочниках указывалась специальность «геофизика».)

Посде нa’la. ria Великой Отечественной войны Институт тео — рети^1еской геофизики, вместе с другими у^1реждениями Ака­демии наук, был эвакуирован в Казань, а затем частично в Уфу. Часть эксплуатируемых нефтяных месторождений ока­залась на территории, занятой иемцаг.1и или под угрозой их захвата. Поэтому был развернут поиск нефти между Волгой и Уралом. Андрей Николаевич был привлечен к р^^^ по сей­сморазведке и электроразведке. Он р^отал в составе группы, занимавшейся расшифровкой результатов электрозондирова­ния земной коры в районе г. Ишт1бай в Башкирии. Иногда ему удавалось быть в Казани с семьей, но большую часть времени он проводил в разъездах. Именно в это время (1943 г.) им была опубликована в Докладах АН СССР знаменитая работа «Об устойчивости обратных задач», положившая на’1^о современ­ной теории некорректных задач. Андрей Николаевич всегда с’1ита,^1, что эта теория и возникла из-за необходимости ре­шать важные прикладные (в том числе геофизические) задачи, и развитие теории теснейшш! обр^юм связано с приложениями.

§ 2. КОРРЕКТНОСТЬ ПОСТАНОВКИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ

В качестве основного объекта наших исследований в этой кни­ге мы будем рассматривать операторное уравнение вида:

Az =и, (2.1)

Где А — линейный оператор, действующий из нормированного пространства Z в нормированное пространство И.

жак адамар (jacques had^ard), 186s-1963Французским математиком Адамаром были сформулированы следующие условия

Корректности постановки матег.1атических ————————————————————————-

Задач, которые мы рассмотрим на примере записанного операторного уравнения. Задача решения опера­торного уравнения называстся Корректно поставленной (по Адамару), если выполнены следующие три условия:

1) решение существует \:/и Е И;

2) решение единственно;

3) если Un и, Azn = Un, Az = И, то Zn Z.

Условие 2) Обеспечивается тогда и только тогда, когда опе­ратор А является взаимно однозначным. Условия 1) и 2) озна­чают, что существует обратный оператор А”1, причем его об­Ласть определения D(A-1) (или Область значений Операто­ра R(A)) Совпадает с И. В этог.1 случае говорят, что оператор А есть биекция Z на И. Условие 3) означает, что обратный опе­ратор является непрерывным, т. е. «t.1алым» изменениям пра­вой •1асти И Соответствуют «малые» изменения решения Z. Бо­лее того, ^Адамар считал, что только корректные задачи долж­ны рассматриваться при решеиии прикладных задач. Однако хорошо известны примеры некорректно поставленных задач, к рассмотрению и численному решению которых приходится прибегать при рассмотрении много^1иа1енных прикладных за­дач. Хочется сразу отметить, что в дальнейшем мы будем рас­сматривать случай, когда не выполняется условие 3). Ниже г.1ы увидим, •1то в некоторых случаях удается добиться выполне­ния условий 1) и 2) с помощью уточнения понятия решения и введения различных обобщенных решений. Нужно отметить, что устойчивость и неустойчивость решения связаны с тем, как определяется простракство решений Z. Выбор пространства решений (в том числе и нормы в нем) обычно определяется требованиями прикладной задачи.

Поэтому снача.11а мы должны определить пространства, с которыми мы будем встречаться в да.11ьнейшем. Напомним также некоторые основные определения.

§ 3. МЕТРИЧЕСКИЕ, НОРМИРОВАННЫЕ И ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА

Множество L называется (вещественным) линейным про­Странством, Если для любых двух его элементов х, У Определен элег.1епт Х^+у Е L (называемый Суммой Элементов Х И У), И для любого элементах Е L и любого (вещественного) •1иа1а а опре­делен элемент Ах Е L (называемый Произведением Элемента Х Иа число а), причег.1 выполнены следующие условия:

1) Для любых элементов х, у Е L: Х + У — У + х (коммутативность сложения);

2) Для Juобых элементов х, У, Z Е L: (х + у) + Z = х + (у + Z) (ассоциативность сложения);

3) Существует элемент О Е L (называемый Нулевым эле­ментом, Или Нулем Пространства L), такой, что для лк^ бого элемента х Е L: х + О = Х (существован ие нулевого элемента);

4) Для любого элемента х Е L Существует элемент —х Е L (называемый Обратным К х), такой, что х + (-х) = О (существование обратного элемента);

5) Д^ля любых элементов х, у Е L и jhобого (вещественного) числа а: а(х + у) = ах + ау (Дистрибутивность умно­жения Суммы элементов на число);

6) Д^ля Jнобых (вещественных) чисел а и F3 и любого эле­мента Х Е L: (а + ^)х = ах + βХ (Дистрибутивность умножения Суммы чисел на элемент);

7) Для любых (вещественных) чисел а, f3 и любого элемен­та х Е L: (α∙ FЗ)х = а(^х) (Ассоциативность умножения На число);

8) Для любого элемента х Е L: 1 •х = х (свойство Единицы). Элементы линейного пространства называются Векторами,

Поэтому линейное пространство иногда называется Вектор­ным.

Пусть даны элементы хк, ... , Xn Е L. Всякая сумма вида ^1Xk + + anXn, где а1, •.•, An числа, называется Линейной комбинацией Элементов хк, ... , X∏- Элементы х1, ..., XНазы­ваются Линейно зависимыми, Если существует их линейная комбинация, равная нулевому элементу, где не все числа ak равны нулю. Если же равенство о:кх1 + … +<ХпХп = О Возможно только при ак = … = <Xn = О, то элементы хк, . •., Xn называдт — ся Линейно независимыми. Линейное пространство называ­ется N-мерным, Если в нем существует n линейно независимых векторов, а всякий п + 1 вектор линейно зависим. Набор лю­бых N Линейно независимых векторов в n-мерном пространстве назывБазисом.

Пример 3.1 (линейные Пространства).

1) Конечномерное векторное пространство R", Изучанмое в кур­се линейиой алгебры.

2) Простраиство (ВЕ^ст^ниых) функций, онределенных на от­резке [а, Ь]. Это простран^во можио pacc^ιarpuβaτb Как Ли­нейное, если определить сумму элементов и умножение на вещ^^веииое число обычиым образом. Нулевым элемеитом

Этого пространства является функция, тождественно равная 1гул10. Заметим, что это пространство бесконечномерное.

Множество М называется Метрическим пространством, если Для любых двух его элементов х, у Е М определено веще­ственное число р(х, у) (называемое Метрикой, Или Расстояни­ем), Причем выполнены следующие условия:

1) для любых элеr-1ентов х, у Е NI: р(х, у) ≥ О, nричеr-1 Р(х, у) = О тогда и только тогда, когда элементы х и у совпадают (х = у) (неотрицательность метрики);

2) для любых элеr-1ентов х, у Е М!’: р(х, у’) = Р(у, х}

(симметричность метрики);

3) для любых элементов Х, у, Z ЕМ: р(х, у)^ р(х, Z) +Р(у, z) (неравенство треугольника).

Можно дать определение открытого и замкнутого множе­ства. Для этого введем понятие открытого (замкнутого) шара. Открытым шаром С Центром В точке хо Е М и Радиусом R > О называется r-1∏ожество 8^(хо) = {х Е М: р(х, х0) < r}. Замкнутым шаром С центам в точке ха Е JVJ и радиусоr-1 T > О называется множество Sr(xo) = {х Е М: р(х, ха) ≤ ^}.

Множество А С М1 называется Ограниченным, Если оно содержится це1иком в некотором шаре. Множество А с М на­зывается Открытым, Если для любой точки х0 Е М существует радиус R > О, такой, что Sr(xo) С А.

Точка хо Е М! называется Точкой прикосновения Множе­ства А С М1, если любой шар Sr(xo) содержит хотя бы одну τo∙ικy х Е А. Совокупность всех то^1ек прикосновения множе­ства А наз^1вается Замыканием Этого множества и обознача­ется А. Множество А С М1 называется Замкнутым, Если A=A.

Страницы: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *