Мир математики: в 45 т. Т. 41: Густаво Пиньейро. Шар бесконечного объема. Парадок­сы измерения

Длина, площадь и объем

В 1924 году польские математики Стефан Банах (1892—1945) и Альфред Тарский (1901—1983) опубликовали статью, в которой доказали, что есть способ разделить шар на восемь частей, из которых, не подвергая их никаким деформациям и искажениям, можно собрать два шара, равных исходному (так называемый парадокс удвоения шара). Представим себе сферический пазл из восьми частей, из которых, ничего не добавляя и не убавляя, можно собрать две сферы, идентичные исходной, как показано на рисунке.

Естественно, это заявление полностью противоречит интуиции и здравому смыслу, из-за чего теорема, доказанная Банахом и Тарским, известна как парадокс Банаха — Тарского. Однако речь идет не о парадоксе или противоречии, а об абсолютно доказанной математической теореме, такой же справедливой, как, например, известная теорема Пифагора.

Означает ли это, что мы можем увеличить объем сферы из золота, просто разрезав ее на части и поменяв их местами, без дополнительного материала.^ Да и вообще, можно ли удвоить объем, ничего не добавляя.^ Ответы на эти вопросы зависят от правильного понимания математических свойств объема, который является мерой трехмерных объектов (мы вычисляем объем сферы, куба, конуса и так далее).

Но прежде чем говорить о мере трехмерных объектов, проанализируем меру одномерных объектов, то есть посмотрим, как определяется длина кривой.

Длина кривой

Обычный человек считает слова «прямая» и «кривая» антонимами, однако в математике прямые линии — это частные случаи кривых. Действительно, кривую можно определить как траекторию, которую описывает точка, движущаяся по плоскости или в пространстве, и эта траектория вполне может быть прямой; например, она может представлять собой отрезок, то есть часть прямой, расположенную между двумя неподвижными точками.

В свою очередь, длина кривой, понимаемой как траектория движущейся точки, определяется как общее расстояние, пройденное этой точкой. Как измеряется это расстояние.^ То есть как вычисляется длина кривой.^

Процесс измерения предполагает существование единицы измерения, которая, если говорить о длине, является отрезком, выбранным произвольно. У нас есть отрезок, которому мы назначаем длину, равную 1; потом мы говорим, что этот отрезок равен метру, ярду, миле, локтю или любой другой мере длины. Когда мы заявляем, что измеряемая длина равна 3,5 (метра, мили и так далее), то имеем в виду, что наша единица измерения помещается в этом отрезке ровно три с половиной раза.

Единица измерения

I——————————— 1

Ч Длина = 3,5

ноКак вычислить, сколько раз помещается отрезок на криволинейном пути.’’

В этом случае необходимо прибегнуть к последовательному приближению значения. Например, на фигуре слева изображена кривая, длину которой мы хотим измерить.

На фигуре в центре мы проставили некоторые точки на кривой и соединили соседние точки отрезками; сумма длин этих отрезков дает нам приблизительную общую длину кривой. (Отрезки образуют долшную Линию, которая является не чем иным, как серией последовательных отрезков; закрытая ломаная линия — это Многоугольник). На правой фигуре мы отметили больше точек, поэтому полученная ломаная линия дает лучшее приближение, более близкое к реальной длине кривой. Чем больше точек мы отметим, тем точнее будет полученное приближенное значение.

Поскольку во всех приближениях используются прямые отрезки, процесс расчета длины кривой обычно называют Спрямлением этой кривой.

Этот метод впервые был предложен в эпоху античности, в III веке до н. э. Архимед Сиракузский использовал его для вычисления длины окружности. Сначала ученый начертил правильный шестиугольник, вписанный в окружность, то есть многоугольник с шестью равными сторонами, все вершины которого находятся на кривой (фигура слева). Сумма длин сторон шестиугольника, то есть его Периметр, дает нам первое приближение к длине окружности.

Затем Архимед вычислил периметр правильного многоугольника с 12 сторонами, также вписанного в окружность ( фигура в центре ), получив еще большее приближение. Далее он вычислил периметр правильного многоугольника с 24 сторонами (фигура справа) и продолжил так, увеличивая число сторон вдвое, пока не дошел до периметра правильного многоугольника с 96 сторонами. Продолжить расчеты ему помешало отсутствие удобной системы записи цифр. Если радиус окружности равен 1 (то есть если радиус — это отрезок, который мы приняли за единицу измерения), то длина окружности равна 2π Ξ 6,28318… C другой стороны, периметр правильного многоугольника с 96 сторонами равен 6,28206… Архимед, пользуясь доступными ему способами, смог приблизить этот результат к

6 + — «6,2816901…,

71

ПАРАДОКС

Вычисление длины основывается на идее о том, что если у нас есть ломаная линия, которая сближается с кривой, то сумма длин отрезков частей этой ломаной линии все больше сближается C реальной длиной указанной кривой.

Хотя эта идея по сути верна, нужно очень четко определить значение слова «сближается». Возьмем в качестве кривой C отрезок длиной 1 (см. рисунок), а в качестве первой ломаной (назовем ее Pj) — ту, что сформирована из двух отрезков, которые вместе с C составляют два равносторонних треугольника (левая часть рисунка). Общая длина Pj в этом случае равна 2.

C помощью точек, расположенных на серединах сторон треугольника, проведем вторую ломаную, Pj, и таким же образом — еще одну, и так далее.

Соответствующие ломаные будут все больше сближаться с отрезком С. Дойдя таким образом до Pj(∣, например, мы увидим, что высота пиков настолько мала (порядка одной миллионной), что ломаную уже не отличить невооруженным глазом от отрезка С. Следовательно, длины Pj, P^, Py Рд,… все больше приближаются к длине С. Однако мы замечаем, что все ломаные имеют длину 2, в то время как длина C равна 1.

Объяснение этого парадокса в значении термина «сближаться». Языку математики свойственна высокая точность, поэтому говоря «ломаная, которая сближается с кривой», необходимо точно отметить, каким образом это происходит. Например, одно из условий состоит в том, чтобы все вершины многоугольника лежали на кривой, и это условие невыполнимо для ломаных Pj, Pj, Py Рд,… в нашем примере.

z2
71
ЧТО действительно является хорошим приближением, поскольку если бы единицей измерения был метр (то есть если бы диаметр окружности был равен двум метрам), то разница между реальной длиной окружности и приближением, вычисленным

Архимедом, составила бы около 1,15 мм. Кроме того, если разделить 2π и 6 + на 2, мы можем также сделать вывод, что Архимед нашел значение

10

3 + —a3,1408…

71

В качестве приближенного к Я, и это одно из лучших приближенных значений. Посмотрим, как вычисляются периметры правильных многоугольников с 3, 6,

12, 24 и так далее сторонами, вписанных в окружность с радиусом 1.

На рисунке OA, OB и ОС — радиусы окружности; AB одна из сторон правильного многоугольника с числом сторон п, длину AB мы обозначим как L^, В то время какЛС (и СВ) — одна из сторон правильного многоугольника с числом сторон 2п, эту длину мы обозначим Наконец, обозначим через А длину отрезка OD (следовательно, DC равен 1 — А). Применив теорему Пифагора к треугольникам ADO и ADC, видим, что:

>-÷⅛J =1.
(i->)’+(⅛) =(;->.)’

Из этих уравнений следует, что: L,,, = Yj2-,4-{L,X , и так как сторона правильного шестиугольника равна 1, то есть = 1, получается, что;

L,,=Y2-Yi3 ≡ 0,517638… и периметр равен 12L,, ≡ 6,211657…

L,4 = Y2- Yf^+ л/З ≡ 0,261052… и периметр равен 24L,4 ≡ 6,265257…

== ∙^2-Y^Y2 + Y∕5 а0,130806… и периметр равен 48L4j, а6,2787004…

Ly,, = ‘^2->^2 + Y2 + Y2 + ^ 0,065438… и периметр равен 96L,,,, а 6,2820639…

Приближение Архимеда к значению Я, которое мы упомянули, это приближение S Сторону уменьшения; то есть приближенное значение меньше реального. Однако Архимед также вычислил приближенное значение Я В сторону увеличения; для этого он использовал правильные многоугольники, описанные вокруг окружности, вместо вписанных многоугольников, как показано на рисунке. Приближенное значение Я, которое получил Архимед таким способом, было равно:

.. 1 ___________

Страницы: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *