Мир математики; в 40 т, Т. 5: Клауди Альсина

Пифагор

И рассвет математики

Становление математики как теоретической науки связано с Пифагором и его по­следователями в V в. до н. 9. Именно Пифагор первым понял, что истинность ут­верждений необходимо доказать, прежде чем они могут быть использованы в даль­нейших логических рассуждениях. Он начал делать это еще до Евклида, великого компилятора и реорганизатора классической математики. Для этого Пифагор ис­пользовал основополагающий элемент философии — логику. Он применил ее к ма­тематике настолько естественным образом, что теперь кажется, будто философия заимствовала логику у математики. Для пифагорейцев математика была не просто научным подходом: с ее помощью они объясняли мир, используя математику как инструмент для понимания природы и поиска путей к совершенству. Эта философия стала C тех пор частью западной культуры.

Успех пифагореизма легко понять. Пифагор был современником Будды (563 или 623— 483 или 543 гг. до н. э.), Конфуция (551—479 гг. до н. э.) и Лао-цзы (VI или IV в. до н. э.), также являвшихся основателями собственных учений, в которых трудно определить, где заканчивается религия и начинается философия. Пифаго­рейское учение оказалось идеальным синтезом мистики и рационального мышле­ния, смесью науки и религии, которая предлагала совершенный образ жизни. В этом и заключается мощная сила пифагореизма, его культурное значение. Связь матема­тики и теологии, заложенная Пифагором, является характерной чертой религиозной философии Древней Греции и Средневековья и ощущается по сей день.

Пифагор начал излагать свое учение на Самосе, своем родном острове, в воз­расте 40 лет. Перед этим философ долгое время путешествовал. Он был в Египте и Вавилоне, посетив, по некоторым данным, и Индию. Там Пифагор впитал восточ­ный религиозный дух, а также собрал все сведения, какие только мог, о математи­ке и астрономии. Вернувшись домой, он начал объединять эти знания С наследием своей собственной культуры. Многие элементы пифагорейского учения унасле­дованы от более ранних ученых, хотя во многих случаях Пифагор развил и уточ­нил их. Одним из примеров этого является самое знаменитое открытие Пифагора

О прямоугольных треугольниках: сумма квадратов катетов прямоугольного тре­угольника равна квадрату его гипотенузы. Во всем мире это заключение называют теоремой Пифагора, хотя ее история уходит корнями в более ранние времена.

Ранние цивилизации

Район Плодородного полумесяца простирается от рек Евфрата и Тигра до гор Ли­вана. В настоящее время он занимает главным образом современную территорию Ирака, а в далеком прошлом на этих землях процветали некоторые из самых раз­витых цивилизаций всех времен — шумеры. Аккадское царство и, наконец, вави­лоняне. Всех их мы объединяем под общим названием месопотамской цивилизации («Месопотамия» значит «земли между двумя реками»). В последние два века ар­хеологи нашли сотни тысяч глиняных клинописных табличек. Название этих клино­видных знаков в перводе с латыни означает «клин». Эти символы были выгравиро­ваны C помощью стилуса на свежей глине, которую затем сушили на солнце или в печи. Найденные таблички свидетельствуют о том, что у этих народов была развита тор­говля и архитектура, проводились астрономические наблюдения, а в годы правления вавилонского царя Хаммурапи был составлен первый в истории свод законов. До сих пор изучена лишь малая часть этого наследия. Большинство вавилонских табличек хранятся в запасниках музеев по всему миру, ожидая расшифровки. Они, несомненно, еще не раз удивят научное сообщество, открыв великие достижения этих культур, по­гребенные в песке в течение почти 3500 лет.

К настоящему времени обнаружено 500 тысяч табличек, 300 из которых име­ют математическое содержание. Особенно известна табличка, получившая на­звание «Плимптон 322». Название таблички означает, что она была экспонатом

табличка плимптон 322 в настоящее время находится в колумбийском университете нью-йорка.

Номер 322 в коллекции американского журналиста Джорджа Артура Плимптона, передавшего коллекцию Колумбийскому университету в 1936 г. Табличка относится к раннему периоду династии Хаммурапи (примерно 1800—1600 гг. до н. э.) и содер­жит четыре столбца клинописных символов, которые оказались числами, записан­ными в вавилонской шестидесятеричной системе счисления.

На первый взгляд, колонки цифр могут означать записи торговых сделок, но подробные исследования выявили нечто совершенно иное и по-настоящему нео­бычное. Табличка представляет собой список пифагоровых троек, то есть наборов натуральных чисел (а, Ь, с), таких что = с^. Вот несколько примеров пифа­

Горовых троек: (3, 4, 5), (5, 12, 13) и (8, 15, 17). Согласно теореме Пифагора, ка­ждая из этих троек представляет собой длины сторон прямоугольного треугольника. Табличка Плимптон 322 подтверждает, что вавилоняне были знакомы с геометрией и алгебраическими операциями.

C момента открытия таблички ее содержанию было дано несколько толкований. Некоторые эксперты в вавилонской математике, такие как швед Иорен Фриберг, указывали на возможность существования алгебраического метода для вычисле­ния пифагоровых троек. Другие авторы утверждают, что за цифрами скрывается некая геометрическая модель. Австрийский математик Отто Нойгебауэр доказсгл, что табличка действительно содержит список пифагоровых троек, что позволило его британскому коллеге Кристоферу Зиману ввести крылатое выражение, назвав табличку Плимптон 322 «самым старым сохранившимся документом по теории чи­сел». В 2001 г. историк Элеонора Робсон подчеркнула образовательную функцию таблички, предположив, что она служила учебным пособием для учителей при ре­шении задач о прямоугольных треугольниках, квадратах чисел и обратных дробях.

Это открытие оказалось большим сюрпризом и перевернуло наше понимание истории математики с ног на голову. Как вавилоняне обнаружили пифагоровы трой­ки.^ C какой целью они использовали эти числа? Чтобы создать то, что можно счи­тать первыми тригонометрическими таблицами, они должны были знать алгоритм получения таких троек, о котором не сохранилось никаких записей, а Евклид лишь 1500 лет спустя изложил эти сведения в своих «Началах». Получается, вавилоняне не только знали теорему Пифагора, но и владели зачатками теории чисел. В их рас­поряжении имелись достаточные вычислительные методы, чтобы использовать эти теоретические знания на практике — и это все за тысячи лет до того, как в Древней Греции появился первый великий математик. Может, нам стоит приписать вавило­нянам те открытия, которые традиционно ассоциируются с Пифагором.^

ПЕРВАЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКАЯ ТАБЛИЦА

В таблице ниже приведены расшифрованные вавилонские числа, детальный математический ана­лиз которых позволяет сделать удивительные заключения. Даже после расшифровки клинопис­ных символов для понимания таблицы необходимы некоторые объяснения. Очевидно, что стол­бец IV содержит нумерацию строк. Столбцы Il и Ill дают значения в шестидесятеричной системе для длины гипотенузы и одного из катетов прямоугольного треугольника. В последнем столбце I указано значение для длины третьей стороны. Первый столбец самый загадочный, поскольку он содержит квадраты отношений значений D к значениям I, что в современной математике можно назвать квадратами тригонометрических функций.

В качестве примера мы перепишем в десятичной системе первую строку: катет 6=119, гипо­тенуза D = 169, а третья сторона будет равна 120.

1.

II.

Ь

III.

D

IV.

I

(1) 59 OO 15

159

2 49

1

2 00

(1) 56 56 58 14 50 06 15

56 07

3121 [1 20 25]

2

57 36

(1) 55 07 4115 33 45

116 41

150 49

3

120 OO

(1) 53 10 29 32 52 16

3 3149

5 09 01

4

3 45 OO

Страницы: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *