МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ

ЛЕКЦИЯ I. ОСНОВЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ

1. Понятие множества

Множество — есть понятие неопределяемое. Его можно трактовать как некоторый набор объектов. Эти объекты называются элементами мно­жества. Множество считается заданным, если про каждый объект можно сказать, является он элементом данного множества или не является. Так, можно говорить о множестве студентов УрФУ, о множестве треугольни­ков, лежащих в данной плоскости или о множестве решений какого-либо уравнения. В последнем случае заметим, что совершенно неважно, умеем мы решать указанное уравнение или нет; множество его корней определено однозначно и может являться предметом математического исследования.

Поведение множеств описывается с помощью аксиом теории множеств. Общепринятая в математике система аксиом теории множеств — аксиома­ми Цермело Френкеля. Эта система обозначается ZFC. К этой системе аксиом, как правило, добавляется так называемая аксиома выбора. В на­стоящем курсе мы не будем вникать в тонкости аксиоматики; желающие могут подробно ознакомиться с нею, изучив соответствующую литературу, например, «Справочную книгу по математической логике» (часть 2 под редакцией Дж. Барвайса).

Для обозначения множеств применяются заглавные латинские буквы (с индексами или без них), например A, B12 или Tn. Аналогично, эле­менты множеств, как правило, будут обозначаться строчными латинскими буквами (возможно, также с индексами). Следует отметить, что сами мно­жества также могут являться элементами каких-то множеств, например, любая прямая — это некоторое множество точек, поэтому когда мы говорим о множестве прямых, то имеем множество, элементами которого являют­ся другие множества. Факт, что некоторый объект a является элементом

Множества A записывается в виде a ∈ A (A Э A), что читается как « A ле­жит в A» («A имеет a своим элементом»). Аналогично записи a ∈ A и A Э a (« a не лежит в A» и « A не содержит a в качестве элемента») означают, что объект a не есть элемент множества A.

Множества называются равными, если они состоят из одних и тех же 3

Элементов. Факт, что множества A и B равны записывается так: A = B. Если каждый элемент множества A является элементом мно­жества B (запись A ⊂ B или B ⊃ A ), то говорят, что множество A яв­ляется подмножеством множества B. Из вышесказанного ясно, что A = B в том и только том случае, когда одновременно выполнены оба включения A ⊂ B и B ⊂ A.

В некоторых книгах для обозначения упомянутых выше включений упо­требляются символы ⊆ и ⊇ , а символы ⊂ и ⊃ означают строгое вклю­чение множеств, исключающее их совпадение. Нам нет необходимости раз­делять случаи строгого и нестрогого включений, поэтому символы ⊆ и ⊇ нами использоваться не будут.

Замечание. Несмотря на внешнюю похожесть записей B ∈ A и B ⊂ A, их смысл совершенно различный. Так, если A — множество цифр, применяемых в десятичной системе счисления, а B — множество чётных таких цифр, то запись B ⊂ A будет верной, а запись B ∈ A — неверной. Легко привести и обратный пример.

Если множество задано перечислением своих элементов, то эти элемен­ты записываются в фигурных скобках через запятую. Так, множества A и B из предыдущего замечания записываются как {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} и {0, 2, 4, 6, 8} соответственно. Разумеется, задать таким образом можно очень небольшой процент множеств. Чтобы обойти эту трудность, часто поступают так: вместо описываемого множества A указывают неко­торое другое, известное множество, содержащее A, и задают некоторое правило P, которому должны соответствовать те и только те элементы указанного множества, которые и образуют A. Математической запись здесь такова: в фигурных скобках записывается, что переменная принад­лежит указанному большему множеству, а далее через двоеточие (или ино­гда через вертикальную черту) указывают правило P. Например, запись

{x ∈ R : x = mm, m ∈ Z, n ∈ N} означает подмножество вещественных чи­сел, которые можно представить как отношение целого числа к натураль­ному — из курса средней школы вам известно, что такие числа называются рациональными. Иногда, если из контекста ясно, о чём идёт речь, объем­лющее множество может и не указываться; например, вполне корректна

Запись Q = {x : x = mm, m ∈ Z, n ∈ N} .

Упражнение 1. Совпадают ли множества A и B, если

A) A = {1, 2, 3}, B = {2, 1, 3}; б) A = {1, 2, 3}, B = {1, 2, 3, 1}; в) A = {1, 2, 3}, B = {{1, 2}, 3}?

Существует ряд множеств, для которых исторически закреплены стан­дартные обозначения. Вот некоторые из них: N — множество натуральных чисел, Z — множество целых чисел, Q — множество рациональных чи­сел, R — множество действительных чисел, C — множество комплексных чисел, R2 — множество точек плоскости, R3 — множество точек простран­ства и т. д.

Упражнение 2. Совпадают ли множества A и B, если

А) A = {x ∈ Z : x = 3n, n ∈ Z}, B = {x ∈ Z : x = 3n +6, n ∈ Z};

Б) A = {x ∈ Z : x = 3n, n ∈ N}, B = {x ∈ Z : x = 3n +6, n ∈ N};

В) A = Q, B = {x ∈ R : x = ,m N, n ∈ Z} ?

Особо надо сказать о Пустом множестве (обозначается 0). Так назы­вают множество, которое не содержит ни одного элемента. Пустое множе­ство единственно. Оно является подмножеством любого множества, т. е. для любого A справедливо включение A ⊃ 0 . Вопрос о том, является ли то или иное множество пустым или нет, является одним из основных вопросов математики; так вопрос о совместности системы уравнений есть вопрос о непустоте множества её решений. Обратим внимание на то, что множества 0 и {0} различны: первое из них не содержит элементов, а второе содержит единственный элемент — пустое множество.

Упражнение 3. Выпишите все подмножества следующих множеств: a) {t, s}, б) {2, 5, ъ}, в) {0}, г) {0,{0}}.

Существует специальное обозначение для множества всех подмножеств некоторого множества A. Оно таково: 2A. Математическая запись это­го множества такая: 2A = {B : B ⊂ A} . Например, если множество

A — множество цифр, используемых в двоичной системе счисления,

(т. е. если A = {0, 1}), то 2A = {0, {1}, {0}, A}. Обращаем особое вни­мание, что здесь не идёт речь о возведении числа 2 в степень A, запись 2A — просто обозначение некоего множества. Объяснение же такому обо­значению таково: оказывается (позже мы это докажем), что если множе­ство A состоит из n элементов ( n — натуральное число), то множество 2A состоит из 2n элементов ровно.

2. Операции над множествами

Основными операциями над множествами являются объединение, пере­сечение и разность.

Определение 1. Пересечением множеств A и B называют множество, элементами которого являются все элементы, которые принадлежат одно­временно множествам A и B и только они.

Определение 2. Объединением множеств A и B называют множество, элементами которого являются все элементы, которые принадлежат хотя бы одному из множеств A и B и только они.

Пересечение и объединение множеств обозначаются символами ∩ и ∪ соответственно. С учётом этого, определения могут быть переписаны сле­дующим образом:

A∪B = {x: x∈A или x∈B},

A∩B = {x: x∈A и x∈B}.

Для наглядности представления этих операций используются так на­зываемые диаграммы Венна, в которых множества, над которыми произ­водится операция, изображаются в виде кругов на плоскости. При этом

Элементами множества считаются все точки, лежащие внутри или на гра­нице круга, соответствующего данному множеству, а результат операции закрашивается. На рис. 1 и рис. 2 соответственно представлены диаграммы Венна для объединения и пересечения двух множеств.

рис. 1. объединение двух множеств рис. 2. пересечение двух множеств

Операции объединения и пересечения двух множеств легко распростра­няются на случай произвольного (в том числе и бесконечного) числа мно­жеств:

Определение 1′. Объединением семейства множеств AA называют мно­жество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств Aα .

Определение 2′ . Пересечением семейства множеств Aα называют мно­жество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат одновременно каждому множеству Aα .

Для теоретико-множественной записи этих определений используются так называемые Кванторы. Их два: Квантор всеобщности и Квантор су­ществования.

Квантор всеобщности имеет вид ∀ . Это замена русских слов «любой»,

«каждый», «всякий» и их синонимов. Например, утверждение, что 1 — са­мое маленькое натуральное число, с помощью квантора всеобщности запи­сывается так:

∀x ∈ N 1 ≤ X.

Квантор существования имеет вид ∃ . Это замена русских слов «име­ется», «существует», «найдётся» и их синонимов. Например, утверждение, что многочлен P (x) имеет корни, с помощью квантора существования за­писывается так:

∃a P (a) = 0.

В современной математике кванторы общности и существования встре­чаются постоянно, практически во всех разделах. Неоднократно они будут встречаться и нам. Покажем, например, как с их помощью записываются определения пересечения и объединения совокупности множеств:

Aα = {x : ∃α(x ∈ Aα)}, Aα = {x : ∀α(x ∈ Aα)}.

αα

Упражнение 4 . Что представляют собой множества ∪∞ ∩∞

Страницы: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *