Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс

§ 1. Действительные числа

1. Действительные числа и бесконечные десятичные дроби. Применение математических методов для решения практических задач опирается на две основные операции: Счет и Измерение. При пересчете элементов конечных множеств получаются Нату­ральные числа. Результаты измерений часто выражаются Дробями. Например, если отрезок CD можно разбить на Т отрезков, каж­дый из которых равен п-й доле единичного отрезка AB (рис. 1), то его длина выражается дробью В этом случае пишут

СП = ^∙ П

Длину любого отрезка можно с любой степенью точности вы­разить Положительным рациональным числом (т. е. числом, пред­ставимым в виде дроби где Т и П — натуральные числа).

Но в теоретических исследованиях появляются отрезки, длины которых нельзя выразить такими числами.

Пример 1. Покажем, что длину диагонали единичного квад­рата (т. е. квадрата со стороной, равной 1) нельзя выразить ника­ким рациональным числом.

Решение. По теореме Пифагора имеем (рис. 2) AC^ = AB^ + + BC^ = 12 + P = 2. Предположим, что AC можно записать в виде несократимой дроби AC = Тогда имеем = 2, откуда Т^ = 2п^,

П=7

D

Рис. 1

А потому квадрат натурального числа Т четен. Поскольку квад­рат любого нечетного числа нечетен, то Т должно быть четным числом, т. е. Т = 2K. Отсюда следует, что 4K^ = 2п^, откуда 2K^^ = τι^. Это равенство показывает, что квадрат числа П четен, а потому П тоже четное число: П = 21. Но тогда Тип делятся на 2, что противоречит несократимости дроби Полученное противоречие показывает, что

Длина отрезка AC не выражается никаким рациональным числом.

Таким образом, чтобы можно было выражать числами длины любых отрезков, надо расширить совокупность Q+ положительных рациональных чисел, присоединив к ней новые элементы, кото­рые называют иррациональными числами. C этой целью заметим, что при измерении отрезков возможны два случая:

А) длина измеряемого отрезка выражена Конечной, десятичной дробью N,Nι…Nfι (например, 4,806);

Б) длина измеряемого отрезка не может быть выражена конеч­ной десятичной дробью.

В случае б) длину отрезка можно измерять со все возраста — юш;ей точностью. Если обозначить через α⅛ приближенное значе-

1

Ние длины а отрезка с точностью до по недостатку, то деся­тичные дроби αθ, «1, …, α⅛, … будут иметь вид:

O⅛ = N; «1 = N,N^; «2 = ^,п^Пг; … ;

Щ = N,N^…N^; … . (1)

Здесь N является натуральным числом или нулем, а П^, П2…, Hfi, … принимают значения 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 1, 9.

Например, при измерении длины диагонали единичного квад­рата получаем последовательно числа 1; 1,4; 1,41; 1,414; … .

Вместо бесконечной последовательности (1) десятичных дро­бей со все возрастаюш;им числом десятичных знаков рассматрива­ют только одну бесконечную десятичную дробь а = N, nι…n⅛… (например, 7,101001000100001…) и говорят, что она обозначает длину данного отрезка. Каждая такая дробь задает последователь­ность пар конечных десятичных дробей:

(ЛГ; N + 1); (n, z¾; W,π, + i); …,

(Λf, zι,…¾; 7V,π,…nj + ….

Число α⅛ = N,Nγ…Hk (соответственно А= ¾ + ) называют Деся­

Тичным приближением числа о/, по недостатку (соответственно По избытку) C точностью до

6

Любую конечную десятичную дробь N,τiγ…N,, можно записать в виде бесконечной десятичной дроби 7√,Λι∙∙∙Λ⅛θθθ∙∙∙θ∙∙∙, оканчи­вающейся «хвостом» из нулей. При этом, например, дроби 0,5 = о,5000…0… соответствует последовательность пар десятич­ных приближений (0; 1), (0,5; 0,6), (0,50; 0,51), (0,500; 0,501) и т. д. Все приближения по недостатку для этой дроби, начиная со второго, одинаковы: 0,5 = 0,50 = 0,500 = … . Рассмотрим те­перь бесконечную десятичную дробь 0,499… . Для нее последова­тельность пар десятичных приближений имеет вид: (0; 1), (0,4; 0,5), (0,49; 0,50), (0,499; 0,500) и т. д. В этом случае совпадают десятичные приближения по избытку, начиная со второго: 0,5 = 0,50 = 0,500 = … . Последовательность приближений по не­достатку для первой дроби совпадает с последовательностью при­ближений по избытку для второй дроби. Это означает, что обе дроби выражают длину одного и того же отрезка, которая равна половине длины единичного отрезка, т. е. являются записями одного и того же числа.

Чтобы не обозначать двумя способами одно и то же число, усло­вились не использовать бесконечных десятичных дробей, оканчива­ющихся «хвостом» из девяток. Такие дроби всегда можно заменить конечной десятичной дробью, заменив девятки нулями и увеличив на 1 цифру, стоящую перед ними. Например, 3,72999…9… = = 3,73 = 3,73000…0… . Итак, введем следующее определение.

Определение 1. Положительным действительным числом а Называют бесконечную десятичную дробь N,Nι…N^…, не оканчи­вающуюся последовательностью девяток.

Примерами таких чисел могут служить 5 = 5,0000…, π =

= 3,14159…, = 0,333…3…, √2 = 1,41421… и т. д.

Число N называют Целой частью числа а = Λ^,np..n⅛ …, а 0,np..n⅛… — его Дробной частью. Пишут N = [а], 0,∏ι…n⅛… = {α}. Например, если а = 14,271503…, то [а] = 14 и {α} = 0,271503… .

Чтобы выразить изменения величин (их увеличение и умень­шение), кроме положительных действительных чисел нужны отрицательные действительные числа и нуль. Назовем Отрица­тельным действительным числом бесконечную десятичную дробь вида а = -ΛΓ,Λι∙∙∙Λfc∙∙∙ • Такое число а называют Противоположным Числу β = M^ι∙∙∙Λ⅛∙∙∙ и пишут а = -β, β = — а.

У числа О Две десятичные записи: 0,000…0… и -0,000…0… . Мы будем пользоваться лишь первой. Таким образом, O = -O — это единственное число, которое противоположно самому себе. Для любого числа а верно равенство -(-а) = а.

Числа, противоположные положительным рациональным чис­лам, называют Отрицательными рациональными числами. Поло­жительные рациональные числа, отрицательные рациональные числа и нуль образуют вместе совокупность Q рациональных чи­сел. Если число ОС положительно и β = — а, то полагают β⅛ = — oc⅛, β⅛ =-oc⅛ и называют число β⅛ (соответственно β⅛) Десятичным при­ближением числа β По недостатку (соответственно По избытку}. Далее, если β не является целым числом, полагают [β] — -[ос] — 1 и {β} = 1 — {α}. Для целых β полагают [β] = — а и {β} — 0. Например, если β = -2,71828…, то βg = -2,719, β^ = -2,718, [β] = -3, {β} = = 1 — 0,71828… = 0,2817… . Если β = -3, то [β] = -3, {β} = 0.

Положительные действительные числа сравнивают по вели­чине так же, как числа, выражаемые конечными десятичными дробями. Именно, если ос = N,Nγ…N^… и β = Λf, mι…w⅛…, то счита­ют, что OC < β в следующих случаях:

А) N < М;

6} N = M и Пу < т^;

В) N = M и существует такое К, что П^ = т^, = Mf^, но

П^^ + у < Mf, + ι.

П ример 2. Выясним, какое из чисел, π или √Tθ, больше.

Решение. Имеем π = 3,14159… , VlO = 3,16227… . Видим, что совпадают целые части и цифры десятых, а цифра сотых боль­ше у VlO. Значит, VlO > π.

Если а — отрицательное число, а β — положительное число, то считают, что α<β, α<θπθ<β. Если ос и β — отрицательные числа, то а < β в том и только в том случае, когда -β < — а.