![]() |
§ 1. Действительные числа
1. Действительные числа и бесконечные десятичные дроби. Применение математических методов для решения практических задач опирается на две основные операции: Счет и Измерение. При пересчете элементов конечных множеств получаются Натуральные числа. Результаты измерений часто выражаются Дробями. Например, если отрезок CD можно разбить на Т отрезков, каждый из которых равен п-й доле единичного отрезка AB (рис. 1), то его длина выражается дробью В этом случае пишут
СП = ^∙ П
Длину любого отрезка можно с любой степенью точности выразить Положительным рациональным числом (т. е. числом, представимым в виде дроби где Т и П — натуральные числа).
Но в теоретических исследованиях появляются отрезки, длины которых нельзя выразить такими числами.
Пример 1. Покажем, что длину диагонали единичного квадрата (т. е. квадрата со стороной, равной 1) нельзя выразить никаким рациональным числом.
Решение. По теореме Пифагора имеем (рис. 2) AC^ = AB^ + + BC^ = 12 + P = 2. Предположим, что AC можно записать в виде несократимой дроби AC = Тогда имеем = 2, откуда Т^ = 2п^,
П=7
D
Рис. 1
А потому квадрат натурального числа Т четен. Поскольку квадрат любого нечетного числа нечетен, то Т должно быть четным числом, т. е. Т = 2K. Отсюда следует, что 4K^ = 2п^, откуда 2K^^ = τι^. Это равенство показывает, что квадрат числа П четен, а потому П тоже четное число: П = 21. Но тогда Тип делятся на 2, что противоречит несократимости дроби Полученное противоречие показывает, что
Длина отрезка AC не выражается никаким рациональным числом.
Таким образом, чтобы можно было выражать числами длины любых отрезков, надо расширить совокупность Q+ положительных рациональных чисел, присоединив к ней новые элементы, которые называют иррациональными числами. C этой целью заметим, что при измерении отрезков возможны два случая:
А) длина измеряемого отрезка выражена Конечной, десятичной дробью N,Nι…Nfι (например, 4,806);
Б) длина измеряемого отрезка не может быть выражена конечной десятичной дробью.
В случае б) длину отрезка можно измерять со все возраста — юш;ей точностью. Если обозначить через α⅛ приближенное значе-
1
Ние длины а отрезка с точностью до по недостатку, то десятичные дроби αθ, «1, …, α⅛, … будут иметь вид:
O⅛ = N; «1 = N,N^; «2 = ^,п^Пг; … ;
Щ = N,N^…N^; … . (1)
Здесь N является натуральным числом или нулем, а П^, П2…, Hfi, … принимают значения 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 1, 9.
Например, при измерении длины диагонали единичного квадрата получаем последовательно числа 1; 1,4; 1,41; 1,414; … .
Вместо бесконечной последовательности (1) десятичных дробей со все возрастаюш;им числом десятичных знаков рассматривают только одну бесконечную десятичную дробь а = N, nι…n⅛… (например, 7,101001000100001…) и говорят, что она обозначает длину данного отрезка. Каждая такая дробь задает последовательность пар конечных десятичных дробей:
(ЛГ; N + 1); (n, z¾; W,π, + i); …,
(Λf, zι,…¾; 7V,π,…nj + ….
Число α⅛ = N,Nγ…Hk (соответственно А= ¾ + ) называют Деся
Тичным приближением числа о/, по недостатку (соответственно По избытку) C точностью до
6
Любую конечную десятичную дробь N,τiγ…N,, можно записать в виде бесконечной десятичной дроби 7√,Λι∙∙∙Λ⅛θθθ∙∙∙θ∙∙∙, оканчивающейся «хвостом» из нулей. При этом, например, дроби 0,5 = о,5000…0… соответствует последовательность пар десятичных приближений (0; 1), (0,5; 0,6), (0,50; 0,51), (0,500; 0,501) и т. д. Все приближения по недостатку для этой дроби, начиная со второго, одинаковы: 0,5 = 0,50 = 0,500 = … . Рассмотрим теперь бесконечную десятичную дробь 0,499… . Для нее последовательность пар десятичных приближений имеет вид: (0; 1), (0,4; 0,5), (0,49; 0,50), (0,499; 0,500) и т. д. В этом случае совпадают десятичные приближения по избытку, начиная со второго: 0,5 = 0,50 = 0,500 = … . Последовательность приближений по недостатку для первой дроби совпадает с последовательностью приближений по избытку для второй дроби. Это означает, что обе дроби выражают длину одного и того же отрезка, которая равна половине длины единичного отрезка, т. е. являются записями одного и того же числа.
Чтобы не обозначать двумя способами одно и то же число, условились не использовать бесконечных десятичных дробей, оканчивающихся «хвостом» из девяток. Такие дроби всегда можно заменить конечной десятичной дробью, заменив девятки нулями и увеличив на 1 цифру, стоящую перед ними. Например, 3,72999…9… = = 3,73 = 3,73000…0… . Итак, введем следующее определение.
Определение 1. Положительным действительным числом а Называют бесконечную десятичную дробь N,Nι…N^…, не оканчивающуюся последовательностью девяток.
Примерами таких чисел могут служить 5 = 5,0000…, π =
= 3,14159…, = 0,333…3…, √2 = 1,41421… и т. д.
Число N называют Целой частью числа а = Λ^,np..n⅛ …, а 0,np..n⅛… — его Дробной частью. Пишут N = [а], 0,∏ι…n⅛… = {α}. Например, если а = 14,271503…, то [а] = 14 и {α} = 0,271503… .
Чтобы выразить изменения величин (их увеличение и уменьшение), кроме положительных действительных чисел нужны отрицательные действительные числа и нуль. Назовем Отрицательным действительным числом бесконечную десятичную дробь вида а = -ΛΓ,Λι∙∙∙Λfc∙∙∙ • Такое число а называют Противоположным Числу β = M^ι∙∙∙Λ⅛∙∙∙ и пишут а = -β, β = — а.
У числа О Две десятичные записи: 0,000…0… и -0,000…0… . Мы будем пользоваться лишь первой. Таким образом, O = -O — это единственное число, которое противоположно самому себе. Для любого числа а верно равенство -(-а) = а.
Числа, противоположные положительным рациональным числам, называют Отрицательными рациональными числами. Положительные рациональные числа, отрицательные рациональные числа и нуль образуют вместе совокупность Q рациональных чисел. Если число ОС положительно и β = — а, то полагают β⅛ = — oc⅛, β⅛ =-oc⅛ и называют число β⅛ (соответственно β⅛) Десятичным приближением числа β По недостатку (соответственно По избытку}. Далее, если β не является целым числом, полагают [β] — -[ос] — 1 и {β} = 1 — {α}. Для целых β полагают [β] = — а и {β} — 0. Например, если β = -2,71828…, то βg = -2,719, β^ = -2,718, [β] = -3, {β} = = 1 — 0,71828… = 0,2817… . Если β = -3, то [β] = -3, {β} = 0.
Положительные действительные числа сравнивают по величине так же, как числа, выражаемые конечными десятичными дробями. Именно, если ос = N,Nγ…N^… и β = Λf, mι…w⅛…, то считают, что OC < β в следующих случаях:
А) N < М;
6} N = M и Пу < т^;
В) N = M и существует такое К, что П^ = т^, = Mf^, но
П^^ + у < Mf, + ι.
П ример 2. Выясним, какое из чисел, π или √Tθ, больше.
Решение. Имеем π = 3,14159… , VlO = 3,16227… . Видим, что совпадают целые части и цифры десятых, а цифра сотых больше у VlO. Значит, VlO > π.
Если а — отрицательное число, а β — положительное число, то считают, что α<β, α<θπθ<β. Если ос и β — отрицательные числа, то а < β в том и только в том случае, когда -β < — а.
Страницы: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153