Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс

Интеграл

И дифференциальные уравнения

§ 1. Неопределённый интеграл

1. Введение. C помощью дифференцирования можно, зная закон движения тела, найти его мгновенную скорость в любой момент времени. Часто возникает необходимость в решении обратной задачи: зная скорость прямолинейно движущегося тела в каждый момент времени, найти закон движения тела. Эти и аналогичные им задачи решаются с помощью операции Интегрирования функ­ций, которая обратна операции дифференцирования.

Раздел математики, в котором изучаются свойства операции интегрирования и её приложения к решению задач физики и гео­метрии, называют Интегральным исчислением.

Напомним выведенные в главах 5 и 6 формулы для производ­ных и вытекающие из них формулы для дифференциалов:

Функция

Производная

Дифференциал

αx° ‘

Ах“ ‘dx

Sin X

COS X

COS X Dx

COS X

-Sin X

-sin X Dx

Tg X

1

Dx

COS^X

QQ3^X

1

Dx

Ctg X

Sin*^x

Sιn’^x

1

Dx

Arcsin X

Vl — X^

Ll X^

1

Dx

Arctg X

1 + X^

1 + X^

2. Первообразная. Введём следующее определение. Определение 1. Функцию F, заданную на некотором про­

Межутке X, называют Первообразной, для функции F, заданной на том же промежутке, если для всех Х X выполняется равенство F‘(X) = F{X), или, что то же самое, DF(X) = F(X}Dx.

Замечание. В концевых точках промежутка X речь идёт об одно­сторонних производных.

Например, из равенства (х®)’ = Зх^ следует, что функция х® на всей числовой оси является первообразной для функции Зх^. Заметим, что функция х^ + 4 тоже является первообразной для 3χ2, так как (х® + 4)’ = Зх^. Вообще любая функция вида х’ + С, где C некоторое число, является первообразной для Зх^. Таким образом, функция Зх^ имеет бесконечно много первообразных. То, что первообразных иного вида, чем х’ + С, у функции Зх^ нет, вытекает из следующей теоремы.

Теорема. Если функция F имеет на промежутке X первообраз­ную F, то для любого числа C функция F + C также является первообразной для F. Иных первообразных функция F на X не имеет.

Доказательство. Так как F первообразная для F на про­межутке X, то F‘(X) = F{X) для всех х ∈ X. Но тогда при х ∈ X для любого числа C птлеетл (F(x) + C)’ = F(X). Это значит, что F(x) + C — тоже первообразная для / на X.

Покажем, что иных первообразных на X функция F не имеет. Предположим, что Ф — тоже первообразная для F на X. Тогда Ф'(х) = /(х), И потому для всех Х е X имеем Ф'(х) — F‘(X) = F(X) — — = 0.

Страницы: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *