Математика. 6 класс : учеб, для учащихся общеобразоват. Организаций И. И. Зубарева, А. Г. Мордкович

И ОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА.

КООРДИНАТЫ

§1. ПОВОРОТ и ЦЕНТРАЛЬНАЯ СИММЕТРИЯ

На рисунке 1 показан поворот точки А вокруг точки О, центра пово­рота, на 90°. При повороте точка А переходит в точку Aj.

Рассмотрите рисунок 2. Здесь тоже показаны повороты точек. Опи­шите этот рисунок и определите, на какой угол поворачивается точка в каждом случае. Для какой точки угол поворота можно определить без транспортира? Охарактеризуйте расположение начальной и конечной то­чек (М и Mif N и Ni, К и Jfi) относительно центра поворота.

На рисунке 3 изображены различные орнаменты. Все они состоят из одинаковых повторяющихся фрагментов. Покажите эти фрагменты. Об­ратите внимание на фрагменты орнаментов б), г), е), ж). Подумайте, что их объединяет.

Проверьте себя.

Е) ж)

Рис. 4

Если внимательно посмотреть на рисунки б), г), е), ж), можно заме­тить, что повторяющиеся фрагменты состоят из двух одинаковых частей (рис. 4) и каждую из них можно получить из другой части поворотом на 180° относительно некоторой точки. Например, если кончик хвоста крас­ной рыбы (рис. 5) повернуть на 180° вокруг точки О, то попадём как раз на кончик хвоста жёлтой рыбы. То же можно сказать и о других точках изображений этих рыб: если красную рыбу целиком повернуть на 180°, она полностью совместится с жёлтой рыбой. Если вы попробуете сделать то же самое с фрагментами других орнаментов, то у вас ничего не полу­чится — не существует такой точки, при повороте вокруг которой на 180° одинаковые части фигур совпадут.

Отметим на плоскости точку О (рис. 6) и проведём через неё пря­мую АО. На этой прямой отложим от точки О отрезок QAi, равный отрез­ку АО, но по другую сторону от точки о. Получим развёрнутый угол AOAp Это значит, что точку Ai можно получить поворотом точки А на 180° вокруг точки О.

Точки А и Ai называют симметричными относительно точки О, а точку О называют центром симметрии.

Вернёмся к рисунку 5. Здесь красная и жёлтая рыбы симметрич­ны относительно точки О, а выделенные точки являются центрально­симметричными точками. Фигуры, симметричные относительно какой — либо точки, называют центрально-симметричными фигурами.

Фигуру, центрально-симметричную данной, можно получить поворо­том исходной фигуры на 180°. При повороте форма и размеры фигуры не меняются, значит, Центрально-симметричные фигуры равны.

Как расположены центрально-симметричные точки относительно центра симметрии? Подумайте, как найти точку, симметричную данной относительно центра — точки О.

I Проверьте себя.

! Центрально-симметричные точки лежат на одной прямой с

!

Центром симметрии по разные стороны и на равном расстоянии от него.

Мультимедийное приложение. Раздел «Теория». Ресурс № 1.

1. На рисунке 7 укажите центр симметрии и какие-нибудь пары центрально-симметричных точек.

2. Скопируйте рисунок 8 в тетрадь и отметьте точки, симметричные точкам М, 7V, К относительно точки О.

А)

3. Скопируйте рисунок 9 и постройте фигуру, симметричную отрезку AB Относительно точки О.

Проверьте себя.

Понятно, что фигура, симметрич­ная отрезку АВ, — это отрезок. Но тог­да нам достаточно знать, где расположены концы этого нового отрез­ка, т. е. Достаточно построить точки, симметричные точкам А и В относительно точки О. На рисунке 10 отрезки AB и AiBi симмет­ричны относительно точки О.

О 4. Начертите треугольник ABC и отметьте точку О вне его (как на рисунке 11). Постройте фигуру, симметричную треугольнику ABC относительно точки О.

О 5. Начертите треугольник KMN и постройте фигуру, симметричную этому треугольнику относительно:

А) его вершины — точки М;

Б) точки О — середины стороны MN.

О 6. Постройте фигуру, симметричную:

А) лучу OM относительно точки О; запишите, какая точка сим­метрична точке О;

Б) лучу OM относительно произвольной точки А, не принадлежа — пдей этому лучу;

В) прямой AB относительно точки О, не принадлежащей этой прямой;

Г) прямой AB относительно точки О, принадлежащей этой пря­мой; запишите, какая точка симметрична точке О.

В каждом случае охарактеризуйте взаимное расположение цент­рально-симметричных фигур.

7. Подумайте, какая фигура симметрична углу ABC относительно его вершины — точки В. Выполните задания:

А) постройте фигуру, симметричную углу ABC относительно точки В;

Б) постройте фигуру, симметричную углуABC относительно точки М, Лежащей на биссектрисе этого угла.

8. 1) На рисунке 12 изображены различные геометрические фигуры и показано, какое положение займёт прямоугольник, если его по­вернуть на 90° вокруг точки пересечения его диагоналей. Если же продолжить этот процесс и повернуть прямоугольник на 180°, то он сольётся (совпадёт) со своим первоначальным изображением. Такую точку, при повороте вокруг которой на 180° фигура совпадает со своим первоначальным изображением, называют центром симметрии фигуры, а саму фигуру называют центрально-симметричной. Ука­жите центры симметрии остальных фигур.

∕Z7′ √’>*1 ∙’∙∙ »■

V‰⅛.∙