Математический анализ для первокурсников

200 ЗАДАЧ ПО КУРСУ
МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

О. А. Иванов

От автора

Автор начинает это предисловие с одного воспоминания. Немно­гим более 10 лет назад он включил в «олимпиаду выпускников», проводившуюся мат-мехом СПбГУ, задачу, прочитав условие кото­рой один из коллег отреагировал на него так: «А в чем же, соб­ственно, состоит задача?» Однако после проверки работ участников олимпиады его реакция изменилась: «Да, теперь я вижу, что это действительно —задача». Дело в том, что некоторые утверждения, абсолютно очевидные для математиков, могут представлять серьез­ные трудности для учатцихся или студентов со слабой математиче­ской подготовкой. И дело даже не в том, что эти студенты могут испытывать трудности, например, при проведении тождественных преобразований. Трудность часто состоит в необычной для них по­становке самого вопроса. Вузовский курс математического анализа (высшей математики) во многом состоит из Определений понятий, Доказательств их свойств и Взаимосвязей между ними. А много ли математических понятий вводится в средней школе? Какие доказа­тельства имеются в школьном курсе «Алгебра и начала анализа»?

Думаю, что большинство математиков, ознакомившись с приве­денными ниже задачами, тоже могут отреагировать так же, как мой коллега. Поэтому хочу сразу предупредить, что эти задачи не пред­назначены для обучения будуш;их математиков. Автор использовал их в процессе преподавания математического анализа студентам экономического факультета. Большинство из этих заданий содер­жатся в учебных пособиях^, написанных совместно с доцентом мат — меха Б. М. Беккером, которому автор выражает свою искреннюю благодарность.

Более всего автор желал бы, чтобы те, кто преподает высшую ма­тематику студентам нематематических специальностей вузов, из­менили свою точку зрения на цели своей работы. По мнению ав­тора, бессмысленно учить, например, разнообразным подстановкам для вычисления интегралов или же требовать вычисления пределов

Курс математического анализа. Семестр 1 (учебное пособие). 2-е изд., испр. и до- полн. СПб.: ЭФ СПбГУ, 2010. 226 с.; Семестр 2 (учебно-методическое пособие). СПб.: ЭФ СПбГУ, 2010. 236 с.

Искусственно нагроможденных функций. Двадцать лет назад автор вел на математико-механическом факультете СПбГУ семинар для студентов мат-меха — будущих школьных преподавателей. На этом семинаре каждый из них представлял свою точку зрения на изло­жение определенного раздела школьной математики, представляя, в том числе, и задачи, которые он бы предложил учащимся на сво­ем уроке. Практически всегда я, как руководитель этого семина­ра, задавал выступающему один и тот же вопрос: «А какова цель включения этой задачи; постановки того или иного вопроса?» Когда я смотрю на задачи из стандартных задачников, то достаточно часто цели-то и не вижу.

!

Поэтому специальным полиграфическим образом выделены коммента­рии педагогического характера, обращенные к преподавателям.

Объем включенного материала примерно соответствует перво­му семестру обучения. Именно этот семестр является ключевым В обучении нематематиков математическим методам рассужде­ния. Ко всем задачам даны подробные решения, для того чтобы эту книжку могли использовать и студенты. Совет студентам: даже если вы уверены, что задача вами решена, все равно взгляните на ее «авторское» решение — вдруг вы на что-то не обратили внимание.

3) дана последовательность х„ = η⅛ + + ... +г. вы-

2-3 π(π + l)∙
числите несколько ее первых членов. сформулируйте предположение о формуле для ее общего члена и докажите его.
4) найдите все значения а, при которых является монотонной
последовательность: а) х„ = + ап; б) уп = выясните, явля
ются ли эти последовательности возрастающими или же убывающими.
5) верно ли, что: а) сумма двух монотонных последовательностей является монотонной последовательностью; б) произведение двух возрастающих последовательностей есть возрастающая после-довательность?
6) какие из следующих последовательностей являются монотон-ными: а) xn = б) уп = а/п^ + 1 — п; в) = sin п?
7) верно ли, что: а) сумма двух ограниченных последовательностей есть ограниченная последовательность; б) сумма двух неограниченных последовательностей есть неограниченная последова-

Условия задач

§ 1. Последовательности: первые свойства

Поскольку следующие термины иногда используются в разных смыслах, дадим определение, используемое ниже. Итак, будем на­зывать последовательность х„ Возрастающей (убывающей), если x∏+ι ≥ Xn (соответственно x∏+ι ≤ Х^) при всех п ∈ N. Если же при всех натуральных П верно неравенство x∏+ι > Х^ (или же неравен­ство x∏+ι < Xn), ТО эту последовательность будем называть Строго возрастающей (соответственно строго убывающей).

1) Выясните, являются ли следующие числа С членами данной

Последовательности: а) Хп = , с = б) Уп = 2 + п,

C = 17; 177; 1017; в) Zn = n — — Зп + 6, с = 1; 3; 5.

2) Первые члены х^, Х2 и Х^ некоторой последовательности рав­ны и соответственно. Напишите естественную формулу для общего члена х„ этой последовательности и выясните, является ли данная последовательность: а) монотонной; б) ограниченной.

1

U —————- UU ———-

1-2

Тельность? в) А что можно сказать про сумму неограниченной и ограниченной последовательностей?

8) п^-2
∏2 — п + 1 ’
Найдите наибольший член последовательности: а) x∏ = ⅛;

Б) Уп = √2n + l — √2π- 1; в) =

9) Найдите все значения А, при которых является ограниченной

Последовательность: а) б) = д/п^ + ! — Ап; в) =

= sin(α∏2 + l).

10) Верно ли, что: а) произведение двух неограниченных после­довательностей есть неограниченная последовательность; б) част­ное двух неограниченных последовательностей есть неограничен­ная последовательность?

11) Для последовательностей и укажите

Некоторый номер, начиная с которого верно неравенство:

2∏ + 1

2п + 1 3

„ + 1 -2

<0,3; б)

71 + 1 2

§ 2. пределы последовательностей
1) укажите все номера п, для которых справедливо неравенство: <0,3.
А) K-Il <0,1; б) K-2∣<0,l.

А) I

2) Пусть последовательность является бесконечно малой. Для каких из следуюш;их последовательностей верно, что произведе­ние ХпУп также является бесконечно малой последовательностью:

А) y∏ = (-l)"; б) γ^ = sin∏2; в) у„ = п?

3) Приведите примеры, показываюш;ие, что если — бесконеч­но малая, а — бесконечно большая последовательность, то про­изведение XY∏∙ а) может быть бесконечно малой последователь­ностью; б) может быть бесконечно большой последовательностью;

В) может быть ограниченной последовательностью, не имеюш;ей предела; г) может быть неограниченной, но не являюш;ейся беско­нечно большой последовательностью: д) может иметь своим преде­лом любое заданное действительное число.

4) Найдите предел последовательности

1

3∙5 5∙7 (2π-l)(2n + l)∙

5) Известно, что → 1 и → 2. Что можно утверждать о последо-

Вательностях: а) Z^ = 2X^-3Y^; б) и^ = —; в) V^ = —^; г) = —^?

Страницы: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *