КОНТРПРИМЕРЫ В ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

ГЛАВА 1

СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ И ИХ ВЕРОЯТНОСТИ

§ 1. Классы случайных событий

Пусть задано произвольное непустое множество Ω. Его элементы, обозначаемые ω, будут интерпретироваться как исходы некоторого эксперимента. Как обычно, через ЛиВиЛпВ (а также АВ} будем обозначать соответственно объединение и пересечение любых двух подмножеств ΛCΩhBCΩ, а через А — дополнение множества Л C Ω. В частности, Ω = 0, где 0 — пустое множество. Если множества А И В не пересекаются, то их объединение будем обозначать А + В; соответственно, объединение непересекаюгцихся множеств Л^, г ≥ 1,

Обозначается Л^.

I

Класс Л подмножеств Ω называется Алгеброй^ если он содержит Ω и замкнут относительно дополнения и конечных объединений, т. е. если:

А) Ω ∈ Л5

Б) Л ∈ Л л Л ∈ Л5

В) Ai Л2 E Л л Ai и Л2 E Л.

Учитывая законы де Моргана (Л1Л2 = Лх U Л2 и Лх U Л2 = ∏χ∏2), легко видеть, что условие в) можно заменить условием

B^) Лх, Л2 E Л л AiА2 E А-

Это означает, что класс Л замкнут относительно конечных пересе­чений.

Класс T подмножеств Ω называется А-алгеброй^ если JE — алгебра,

Которая замкнута относительно счетных объединений, т. е. если

Г) ЛX, Л2,… E У’ и An E J-.

П=1

Снова, как и выгве, условие г) может быть заменено эквивалентным ему условием

Г) Лх, Л2,… E У’ An E J-.

П=1

Таким образом, а-алгебра J^ является замкнутой относительно счет­ных пересечений.

Напомним, что элементы любой алгебры или а-алгебры называются Случайными событиями (или просто Событиями).

Другие классы событий, такие как полуалгебры, d-системы и про­изведение σ-алгебр, будут введены и изучены в рассмотренных далее конкретных примерах.

По поводу основных теоретико-вероятностных объектов, идей и ре­зультатов читатель может обратиться к любому из хороню известных учебных пособий, например [9, 26, 60, 75, 81, 92, 106, 116, 117, 118, 145, 179, 330].

1.1. Класс событий, который образует алгебру, но не является сг-алгеброй

(а) Пусть Ω = [о, ∞), а класс Ai содержит все интервалы вида [а, Ь) Или [а, ∞), где 0 ≤ А < Ь < ∞. Далее, пусть класс Л2 состоит из пусто­го множества 0 и всех конечных сумм непересекаюгцихся интервалов из Ai. Покажем, что класс Ai не является алгеброй, а A^ — алгебра, которая не является а-алгеброй.

Действительно, возьмем произвольные действительные числа а и 5, Q < а < Ь < оо. Тогда Л = [а, Ь) ∈ Лх, но поскольку Л = [0, А) U [5, ∞)

Лх, то Ai не может быть алгеброй.

Далее, легко проверить, что: 1) объединение конечного числа эле­ментов класса Л2 принадлежит Л2; 2) дополнение любого элемента класса Л2 снова принадлежит Л2. Таким образом, мы видим, что Л2 образует алгебру. Однако Л2 не является а-алгеброй, потому что, на­пример, множество An = |^0, — при любом п ∈ N принадлежит Л2, в то

Время как пересечение ∩ = {0} не принадлежит Л2.

П=1

(б) Пусть л — класс подмножеств множества Ω = состоягций

Из конечных сумм непересекаюгцихся интервалов вида (—∞,α], (5, с] и где А — любые числа из R^. Тогда класс Л образует

1 I

Алгебру. Однако пересечение ∩ Ib——— , с, равное [5, с], не входит в Л.

П=1 ×

Следовательно, Л не является а-алгеброй.

(в) Возьмем произвольное множество Ω, содержагцее бесконечное число элементов. Обозначим через Л совокупность всех таких подмно­жеств Л C Ω, что конечно либо дополнение А подмножества Л, либо оно само. Тогда легко видеть, что Л — алгебра, которая а-алгеброй не является.

1.2. о замкнутости класса событий относительно операций объединения, пересечения и дополнения

Пусть Ω = а класс Л состоит из всех интервалов вида (т, ∞), T ∈ Ω. Используя обозначения И = х /\ у = min(rr, у) и V = х \/ у = = max(τ, У\ мы видим, что

(т, ∞) и (у, ∞) = Оо) ∈ Л, {X^ ∞) ∩ {у∞) ∈ л,

Т. е. класс Л замкнут относительно (конечных) объединений и пересе­чений. Однако, класс Л не замкнут относительно взятия дополнения. Например, если А = {X^ ∞), то Л ∈ Л, но Л = (—∞, т] Л.

1.3. Каждая алгебра событий является полуалгеброй, но не наоборот

Пусть Ω — произвольное множество. Напомним, что класс S подмно­жеств Ω называется Полуалгеброй^ если Ω E 5, 0 E класс 5 замкнут Относительно конечных пересечений и дополнения любого множества в S является конечной суммой непересекаюгцихся множеств из S.

Легко видеть, что любая алгебра подмножеств множества Ω явля­ется и полуалгеброй. Простые примеры показывают, что обратное не­верно.

(а) Пусть Ω = [—∞,∞], а класс 5χ содержит Ω, {∞} и все интер­валы вида [а, Гдр —∞ ≤ а ≤ & ≤ ∞. Тогда 0 ∈ 5ι, [αχ, &i) ∩ [α2, ½) = = [αχ \/ &х /\ E Si и [а^ &) = [—∞, а) U [&, ∞). Следовательно, 5χ — полуалгебра. Но, очевидно, что 5χ — не алгебра.

(б) Возьмем Ω = T’ и обозначим через 52 класс всех подмножеств вида AB^ где А — замкнутое, Д. В — открытое множество в Ω. Тогда 52 образует полуалгебру, но 52 не является алгеброй.

1.4. В сг-алгебре подмножеств множества Ω могут не содержаться все его подмножества

Страницы: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *