ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Контрольные задания и методические указания к выполнению самостоятельной работы

Математика как наука возникла из потребностей практики. От простого применения результаты математических исследований шагнули сегодня к широкому приложению во многих сферах нашей жизни.

Важный класс задач, возникающих при математическом моделировании, представляют собой задачи эволюционного типа, описывающие явления и процессы, изменяющиеся во времени и связанные с дифференциальными уравнениями или системами таких уравнений, разрешенными относительно производных первого порядка по времени от неизвестных функций и не содержащими производных по времени в правых частях уравнений. Простым примером здесь может служить предлагаемая ниже математическая модель, которая позволяет раскрыть одну из загадок Каспийского моря.

I ЗАГАДКА КАСПИЙСКОГО МОРЯ

Черное и Каспийское моря произошли от одного древнего моря, которое потом было разделено Кавказскими горами на две части. Каспийское море замкнутое, Черное вытекает через Босфор и Дарданеллы в Средиземное море. Несмотря на это, Черное море намного солонее Каспийского. Это кажется необъяснимым, но вспомним, что у Каспийского моря есть залив Кара-Богаз — Гол. На первый взгляд, кажется, что это ничего не меняет: ведь оно по — прежнему остается замкнутым. Однако это не так, поскольку перемешивание вод Каспийского моря и залива не происходит: вода из Каспия все время течет в залив. Может ли это привести к опреснению Каспия? Попробуем получить ответ на этот вопрос, построив соответствующую математическую модель.

Учтем, что реки несут в Каспий чуть-чуть солоноватую воду, вода из Каспия

Перетекает в залив и там, как и в Каспии, испаряется. Пусть: Q — общий приток вод в Каспий, I — превышение испарения над дождями в Каспии и I — в заливе, q — интенсивность перетекания воды из Каспия в Кара-Богаз-Гол. Тогда, очевидно, скорости V и V/ в Каспии и заливе соответственно

V = Q — I — q, V/ = q+I1. (1)

И Каспий, и залив уже давно наполнились, и объемы воды лишь незначительно меняются в зависимости от погоды и времени года. Пренебрегая этими очень малыми изменениями, будем считать V = V1 = 0, что влечет равенства

Q — I — q =0, q+I1 =0, (2)

Означающие уравновешенность притоков и оттоков воды в Каспии и заливе. При этом объемы воды в Каспии и заливе достигают некоторых равновесных величин V* и V*1.

Воды рек приносят в Каспий соли. Пусть V — соленость вод рек, тогда соль прибывает в Каспий с интенсивностью Qv, а в залив — с интенсивностью qμ, где μ — соленость воды Каспия. Согласно этому, скорости изменения M и M1 количеств солей M и M1 в Каспии и заливе, очевидно, составляют

M = Qv — qμ, M1 = qμ. (3)

Из второго соотношения (3) следует, что количество солей в заливе неограниченно растет. Как мы знаем, в заливе концентрация солей давно достигла насыщения и тысячелетиями осаждается на дне залива, образуя

Громадные залежи. Количество же солей в Каспии возрастает до тех пор, пока

Приток солей превышает их отток qμ. Увеличение солености Каспия замедляется с ростом его солености μ и прекращается, достигнув равновесного значения, когда

Qv — qμ = 0, (4)

То есть когда соленость μ Каспия достигает равновесного значения μ *,

Равного μ* = — qv.

Q

Найти эту величину, кажется, очень трудно: нужно знать объем приносимой реками воды и ее соленость, нужно знать, сколько воды перетекает из Каспия в залив. Конечно, все это можно узнать, но совсем непросто. Но, оказывается, это не нужно. Действительно, из первого соотношения (2) следует, что Q = I + q, и поэтому

* = Qv (1÷q)v (1 £)v.

Q q q

Из второго соотношения (1) видно, что q = I1, и поэтому

μ*=(1 ÷1)v = (1 ÷-1-)v,

Q I1

I/I1 — это отношение интенсивностей испарения воды в Каспии и заливе. Грубо приближенно это соотношение равно отношению площадей Каспия и залива, то есть

μ =(1 ÷ -1∙)v ≈(1 ÷ -Ss)v.

I/ S1

Размеры Каспия примерно в 40 раз превышают размеры залива Кара — Богаз

Гол, так что μ* 40 т. Это Даже меньше, чем соленость Каспия сегоДня. То есть сегодня залив Кара — Богаз — Гол опресняет Каспийское море и делает это уже Довольно Давно. Это и объясняет, почему Каспийское море менее соленое, чем Черное, и Дальше буДет еще менее соленым. Но это в геологических масштабах времени.

II ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

1 Определения. Теорема существования и единственности решения

Дифференциальное уравнение — это уравнение, содержащее неизвестную функцию одной или нескольких переменных, независимые переменные и производные (или дифференциалы) неизвестной функции по независимым переменным.

Порядком дифференциального уравнения называется максимальный порядок входящей в уравнение производной (или дифференциала) неизвестной функции.

Обыкновенным дифференциальным уравнением порядка N называется
уравнение, содержащее производные лишь по одной из независимых переменных, т. е. уравнение вида

(5)понимают
старшей
(6)F (Х; У (Х); ); _; .У (Х)) = 0.

Под дифференциальным уравнением в явной форме дифференциальное уравнение, разрешенное относительно

Производной:

У (") (Х) = F (χ; У (Х); У’(Х); , У ("’1) (Х)).

Уравнение (6) называют дифференциальным уравнением в Неявной форме.

Решением уравнения (6) называется функция У = φ(Х), удовлетворяющая

Этому уравнению, т. е. такая, после подстановки которой в уравнение (6) оно обращается в тождество.

Функцию φ(χ; C1; C2;^.; С) мы будем называть Общим решением

Рассматриваемого дифференциального уравнения в области D, если при соответствующем выборе постоянных C1;C2;;C" , φ обращается в любое решение этого уравнения. Уравнение Ф(Х;У;C1;C2;^.;С) = 0 будет являться

Общим интегралом данного дифференциального уравнения в области D, если при соответствующем выборе постоянных C1;C2;;C" это уравнение дает любую интегральную линию нашего уравнения, проходящую в области D.

Частным решением дифференциального уравнения называется такое решение, которое получается из общего при некотором частном задании произвольных постоянных.

Дифференциальное уравнение имеет, вообще говоря, бесчисленное множество решений. Чтобы из всей совокупности решений выделить отдельную интегральную кривую, представляющую собой частное решение, надо задать дополнительные условия. Во многих случаях такими дополнительными условиями являются Начальные условия.

Задача Коши (задача с начальными условиями) есть задача о нахождении частного решения обыкновенного дифференциального уравнения " порядка, которое удовлетворяет начальным условиям

У (ХО )=УО; У‘ (ХО)=У0; у" (ХО )=УО";; У(’1) (ХО)=УО(’1) . (7^

Страницы: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *