Что такое математика? Элементарный очерк идеи и методов

Что такое математика?

Математика содержит в себе черты волевой деятельности, умозритель­ного рассуждения и стремления к эстетическому соверш^н^т^^у^. Ее основ­ные и взаимно противоположные элементы — логика и интуиция, анализ и конструкция, общность и конкретность. Как бы ни были различны точки зрения, питаемые теми или иными традициями, только совместное действие этих полярных начал и борьба за их синтез обеспечивают жизненность, полезность и высокую ценность математической науки.

Без сомнения, движение вперед в области математики обусловлено воз­никновением потребностей, в большей или меньшей мере носящих практи­ческий характер. Но раз возникшее, оно неизбежно приобретает внутрен­ний размах и выходит за границы непосредственной полезности. Соверша­ющееся таким образом превращение прикладной науки в теоретическую наблюдается в истории древности, но не в меньшей степени также и в наши дни: достаточно принять во внимание тот вклад, который сделан в современную математику инженерами и физиками.

Самые ранние из дошедших до нас образцов математической мысли появились на Востоке: около двух тысячелетий до нашей эры вавилоняне собрали обширный материал, который мы склонны были бы в настоя­щее время отнести к элементарной алгебре. Но как наука в современном смысле слова математика возникает позднее на греческой почве, в пятом и четвертом столетиях до нашей эры. Все усиливающееся соприкосновение между Востоком и Гр^ецией, начавшееся во времена Персидской империи и достигшее апогея в период, непосредственно следующий за экспедициями Александра Мак^едонского, обеспечило грекам возможность перенять до­стижения вавилонян в области математики и астрономии. Математика не замедлила стать объектом философских дискуссий, обычных в греческих городах-государствах. Таким образом, греческие мыслители осознали зна­чительные трудности, связанные с основными математическими концеп­циями — непрерывностью, движением, бесконечностью — и с проблемой измерения произвольных величин данными заранее единицами. Но обна­ружилась и решимость преодолеть препятствия: возникшая в результате великолепного усилия мысли евдоксова теория геометрического континуу­ма представляет собой такое достижение, которое можно поставить в один ряд только с современной теорией иррациональных чисел. От Евдокса идет аксиоматико-дедуктивное напрвление в математике, проявившееся вполне отчетливо в «Началах» Евклида.

Хотя теоретико-постулативная тенденция незыблемо остается одной из самых ярких особенностей греческой математики и, как таковая, оказала беспримерное влияние на дальнейшее развитие науки, тем не менее необ­ходимо со всей энергией указать, что практические потребности и связь с физической реальностью участвовали никак не в меньшей мере в со­здании античной математики и что изложению, свободному от евклидовой строгости, очень часто отдавалось предпочтение.

Не исключено, что именно слишком раннее открытие трудностей, свя­занных с «несоизмеримыми» величинами, помешало грекам развить ис­кусство численных операций, сделавшее в предшествовавшие эпохи зна­чительные успехи на Востоке. Вместо этого они стали искать пути в дебрях чистой аксиоматической геометрии. Так началось одно из странных блу:ж — даний в истории науки, и, может быть, были при этом упуш^ены б. зестяшие возможности. Почти на два тысячелетия авторитет греческой геометриче­ской традиции задержал неизбежную эволюцию идеи числа и буквенного исчисления, положенных впоследстии в основу точных наук.

После периода медленного накопления сил — с возникновением в XVII столетии аналитической геометрии и дифференциального и интегрального исчислений — открылась бурная революционная фаза в развитии мате­матики и физики. В XVII и XVIII вв. греческий идеал аксиоматической кристаллизации и систематической дедукции потускнел и утерял свое вли­яние, хотя античная геометрия продо.^:жала высоко расцениваться. Логи­чески безупречное мышление, отправляющееся от отчетливых определений и «очевидных», взаимно не противоречащих аксиом, перестало импони­ровать новым пионерам математического знания. Предавшись подлинной оргии интуитивных догадок, перемешивая неоспоримые заключения с бес­смысленными полумистическими утверждениями, слепо доверяясь сверх­человеческой силе формальных процедур, они открыли новый математиче­ский мир, полный несметных богатств. Но мало-помалу экстатическое со­стояние мысли, упоенной головокружительными успехами, уступило место духу сдержанности и критицизма. В XIX столетии осознание необходимо­сти консолидировать нау^у^, особенно в связи с нуждами высшего образо­вания, после Французской революции получившего широкое распростра­нение, повело к ревизии основ новой математики; в частности, внимание было направлено к дифференциальному и интегральному исчислениям и к уяснению подразумеваемого анализом понятия предела. Таким образом, XIX век не только стал эпохой новых успехов, но и был ознаменован плодотворным возвратом к классическому идеалу точности и строгости доказательств. В этом отношении греческий образец был даже превзойден. Еще один раз маятник качнулся в сторону логической безупречности и от­влеченности. В настоящее время мы еще, по-1^^д^г^м^ом^у^, не вышли из этого периода, хотя позволительно надеяться, что установившийся прискорбный разрыв между чистой математикой и ее жизненными приложениями, не­избежный, по-1^^д^г^м^с^м^у^, во времена критических ревизий, сменится эрой более тесного единения. Приобретенный запас внутренних сил и, помимо всего прочего, чрезвычайное упрощение, достигаемое на основе ясного понимания, позволяют сегодня манипу, лировать математической теорией таким образом, чтобы приложения не упускались из виду’. Установить еще раз органическую связь между чистым и прикладным знанием, здоровое равновесие между абстрактной общностью и полнокровной конкретно­стью — вот как нам представляется задача математики в непосредственно обозримом будущем.

Здесь не место входить в подробный философский или психологический анализ математики. Хочется отметить все же некоторые моменты. Чрез­мерное подчеркивание аксиоматико-д^е^д^уктивного характера математики представляется мне весьма опасным. Конечно, начало конструктивного творчества, интуитивное начало, являющееся источником наших идей и доводов в их пользу, с трудом укладываются в простые философские фор­мулировки; и тем не менее именно это начало есть подлинная суть любого математического открытия, даже если оно относится к самым абстрактным областям. Если целью и является четкая дедуктивная форма, то движущая сила математики — это интуиция и конструкции. В допущении, что мате­матика есть не более чем система следствий, извлекаемых из определений и постулатов, которые должны быть только совместимы между собой, а в остальном являются продуктом свободной фантазии математиков, таится серьезная угроза для самого существования науки. Если бы это было действительно так, математика была бы занятием, недостойным мысля­щего человека. Она была бы просто игрой с определениями, правилами и силлогизмами, не имеющей ни причины, ни цели. Представление, согласно которому человеческий интеллект может творить лишенные какого бы то ни было смысла системы постулатов, есть обман, точнее, полуправда.

Получать результаты, имеющие научную ценность, свободный разум может, только подчиняясь суровой ответственности перед природой, толь­ко следуя некоей внутренней необходимости.

Хотя созерцательное направление логического анализа и не представ­ляет всей математики, оно способствовало более глубокому пониманию математических фактов и их взаимозависимости и более ясному овладению существом математических понятий. Именно из этого направления вырос­ла современная точка зрения на математику как на образец универсально приложимого научного метода.

Каких бы философских позиций мы ни придерживались, все задачи научного исследования сводятся к нашему отношению к воспринимаемым объектам и инструментам исследования. Конечно, восприятие само по себе еще не есть ни знание, ни понимание; ну:жно еще согласовать их между собой и истолковать в терминах некоторых лежащих за ними сущностей, «вещей в себе», не являющихся предметами непосредственно физического изучения, а принадлежащими к метафизической сфере. Но для научного метода существенным является отказ от метафизических умозрений и, в конечном счете, представление всех наблюдаемых фактов в форме по­нятий и конструкций. Отказ от претензии понимания природы «вещей в себе», от постижения «окончательной истины», от разгадки внутренней сущности мира, быть может, будет психологически тягостен для наивных энтузиастов, но на самом-то деле этот отказ оказался в высшей степени плодотворным для развития современной научной мысли.

Некоторым из величайших открытий физики мы обязаны смелому сле­дованию принципу устранения метафизики. Когда Эйнштейн попытался свести понятие «одновременных событий, происходящих в разных местах» к наблюдаемым явлениям, когда он понял, что вера в то, что это по­нятие само по себе непременно должно иметь какой-то точный смысл, есть попросту метафизический предрассудок, в этом открытии уже бы­ло заключено ядро его теории относительности. Когда Нильс Бор и его ученики вдумались в тот факт, что любое физическое наблюдение связа­но с взаимодействием между прибором и наблюдаемым объектом, то им стало ясно, что точное одновременное определение положения и скорости частицы в том смысле, в каком это понимается в физике, невозможно. Далеко идущие следствия этого открытия, составившие современную си­стему квантовой механики, хорошо известны ныне каждому физиг^у^. В XIX столетии господствовала идея, согласно которой механические силы и пе­редвижения частиц в пространстве суть вещи в себе, а электричество, свет и магнетизм можно свести к механическим явлениям (или «объяс­нить» в механических терминах), подобно тому как это было сделано с теорией теплоты. Была выдвинута концепция гипотетической среды — так называемого «эфира»,— способной к не вполне понятным механическим передвижениям, представляющимся нам в качестве света или электриче­ства. Постепенно выяснилось, что этот эфир принципиально ненаблюдаем, т. е. что это понятие принадлежит скорее метафизике, нежели физике. Вна­чале с сожалением, а затем с облегчением идея механического объяснения световых и электрических явлений — а вместе с ней и понятие эфира — была окончательно отброшена.

Подобная же ситуация, и даже еще более отчет. ливая, создалась и в математике. В течение столетий математики рассматривали интересующие их объекты — числа, прямые и т. д. — как некие субстанции, вещи в се­бе. Поскольг^у^, однако, эти «сущности» упорно не поддавались попыткам точного описания их природы, математики девятнадцатого столетия ста­ли понемногу укрепляться в мысли, что вопрос о значении этих понятий как субстанциальных объектов в рамках математики (да и где бы то ни было) просто не имеет смысла. Математические утверждения, в которые входят эти термины, относятся вовсе не к физической реальности; они лишь устанавливают взаимосвязи между математически «неопределимыми объектами» и правила оперирования с ними. Вопрос о том, чем «на самом деле» Явл^яютъся точки, прямые и числа, не может и не должна обсуждать математическая наука. Действительно существенными и имеющими непо­средственное касательство к «проверяемым» фактам являются структура и взаимосвязи между этими объектами: что две точки определяют прямую, что из чисел по определенным правилам получаются другие числа, и т. п. Ясное осознание необходимости отказа от представления об основных математических понятиях как о реально существующих предметах яви­лось одним из самых важных и плодотворных завоеваний современного аксиоматического развития математики.

К счастью, творческая мысль забывает о догматических философских верованиях, как только привязанность к ним становится на пути конструк­тивных открытий. И для специалистов, и для любителей не философия, а именно активные занятия самой математикой смогут дать ответ на вопрос: Что такое математика?

ГЛАВА I

Натуральные числа

Введение

число? если мы говорим, что — -ь — = 1,или что (— 1) • (— 1) =Число — это основное понятие современной математики. Но что такое

2 2 2 2 4

= 1, то какой смысл вкладывается в эти утверждения? В школе мы изу­чаем технику действий с дробями и с отрицательными числами, но, что­бы приобрести подлинное понимание того, как устроена система чисел, недостаточно ограничиваться элементарными сведениями и нужно пойти несколько дальше. Гр(еки в древнее время в основу созданной ими мате­матики положили геометрические концепции точки и прямой; руководя­щим принципом современной математики стало сведение в конечном счете всех утверждений к утверждениям, касающимся Натуральных чисел 1, 2, 3, … «Бог создал натуральные числа, все прочее — дело рук человека». Этими словами Леопольд Кронекер (1823—1891) определил тот проч­ный фундамент, на котором может быть построено здание математики.

Числа служат для того, чтобы считать объекты, входящие в состав тех или иных объединений или собраний. Числа решительно никак не свя­заны с индивидуальной характеристикой считаемых объектов. Так, число «шесть» есть результат абстрагирования, производимого при рассмотре­нии всевозможных совокупностей, состоящих из шести предметов: оно нисколько не зависит ни от специфических свойств этих объектов, ни от употребляемых символов (обозначений). Но абстрактный характер идеи числа становится ясным только на очень высокой ступени интеллекту­ального развития. В глазах детей числа всегда остаются соединенными с самими осязаемыми объектами — допустим, пальцами или камешками; в языках народов числа также трактуются конкретно: для обозначения пред­метов различных типов употребляются различные сочетания числительных.

Мы воспользуемся тем, что математик (как таковой) не обязан зани­маться философской проблемой перехода от совокупностей конкретных предметов к абстрактному понятию числа. Мы примем поэтому натураль­ные числа как данные вместе с двумя основными операциями, над ними совершае^мыми: сложением и умножением.

§1. Операции над целыми числами

1. Законы ари4^р^(^тики. ИЦ. атетлат№^(^1^1ч^ю ‘юорию I^Amt^]JaybHbLX. (иначе, Целых положительных) чисел ннзывнюи Нрифметикой,. Эин икория основана на иои факте, чао сложение и умножение целых чисел подчинены некоиорыи законам. Чиобы сТориулироваиь эии законы во всей их общносии, нельзя воспользоваиься символами вроде 1, 2, 3, оиносящииися к определенныи, конкреиныи числам. Утверждение

1 + 2 = 2 + 1

Есиь иолько часиный случай общего закона, содержание коиорого заключа — еися в иом, чио сумма двух чисел не зависии ои порядка, в коиором мы рассмаириваем эии числа. Если мы хоиим выразииь иу мысль, чио неко — иорое сооиношение между целыми числами имееи месио (оправдываеися, осущесивляеися), каковы бы ни были рассмаириваемые числа, ио будем обозначаиь их символически, и. е. условно, буквами а, Ь, с, … Раз иакого рода соглашение приняио, сТормулироваиь пяиь основных законов ариф — меиики — очевидно, близко знакомых чииаиелю — не предсиавии ируда:

1) H + Ь = Ь + н, 2) НЬ = Ьн, 3) H + (Ь + с) = (а + Ь) + с,

4) А(Ьс) = (аЬ)с, 5) А(Ь + с) = ^Ь + ас.

Два первых закона — Коммутативн^ый (перемесиииельный) закон сло­жения и коммуиаиивный закон умножения — говоряи, чио при сложении и при умножении можно меняиь порядок чисел, над коиорыми совершаеися дейсивие. Треиий — Ассоциативный (сочеиаиельный) закон сложения — гласии, чио при сложении ирех чисел получаеися один и иои же резульиаи независимо ои иого, прибавим ли мы к первому числу сумму виорого и иреиьего, или прибавим иреиье к сумме первого и виорого. Чеивериый закон есиь ассоциаиивный закон умножения. Последний — Дистрибутивн^ый (распределииельный) закон — усианавливаеи ио обстоятельство, чио при умножении суммы на некоиорое целое число можно умножииь на эио число каждое слагаемое и полученные произведения сложииь.

Эии арифмеиические законы совсем просиы и, пожалуй, могуи пока — заиься очевидными. Но следуеи все же замеиииь, чио к иного рода объ — екиам — не к целым числам — они могуи оказаиься и неприменимыми. Например, если А и Ь обозначаюи не числа, а химические вещесива и если «сложение» понимаеися в смысле обычной речи, ио легко поняиь, чио коммуиаиивный закон сложения не всегда оправдываеися. В самом деле, если, скажем, к воде будем прибавляиь серную кислои^у, ио получиися разбавленный расивор, иогда как прибавление воды к чисиой серной кисло — ие можеи закончииься неблагополучно для эксперимениаиора. С помощью иаких же иллюсираций можно показаиь, чио в химической «арифмеиике» иногда нарушаюися и ассоциаиивный, и дисирибуиивный законы сложения.

Итак, можно вообразить и такие типы арифметических систем, в которых один или несколько законов 1)—5) теряют силу^. Такие системы действи­тельно изучались современной математикой. Основа, на которой покоятся законы 1)—5), дается конкретной моделью для абстрактного понятия це­лого числа. Вместо того чтобы пользоваться обыкновенными знаками 1, 2, 3 и т. д., станем обозначать число предметов в данной совокупности (например, яблок на данном дереве) системой точек в четырехугольном «ящичке» — таким образом, чтобы каждому предмету соответствовало по одной точке. Оперируя этими ящичками, мы сможем исследовать законы арифметики целых чисел. Чтобы сложить два целых числа А и Ь, мы сдви­гаем вместе соответствующие ящички и затем уничто:жаем перегородку.

Рис. 1. Сложение

Чтобы умножить А на Ь, мы выстроим точки в двух ящичках в ряд и затем устроим новый ящичек, в котором точки будут расположены так, что образуют А горизонтальных и Ь вертикальных рядов. И тогда ясно видно, что правила 1)—5) выражают интуитивно очевидные свойства введенных операций с ящичками.

) =Рис. 2. Умножение

Jx ( L

Рис. 3. Дистрибутивный закон

На основе определения сложения двух целых чисел можно теперь дать определение Неравенства. Каждое из двух эквивалентных утверждений, именно А < Ь («а меньше, чем Ь») и Ь > а («Ь больше, чем а»), обозначает, что ящичек Ь может быть получен из ящичка А посредством прибавле­ния надлежащим образом выбранного третьего ящичка С таким образом, что Ь = а + с. Если это так, то мы напишем

С = Ь — а,

Чем и определяется операция Вычит^а^н^н^н.

JL_I I ■ » » » I = L

Рис. 4. Вычитание

Сложение и вычитание называют Обр’атными операциями, так как ес­ли, например, к числу А прибавить число D, а затем из того, что получится, отнять D, то получится снова исходное число А:

+ D) — D = а.

Нужно заметить, что число Ь — а было определено только при условии Ь > а. Значение символа Ь — а как Отрицательного целого числа при условии Ь < а будет рассмотрено далее (стр. 79 и след.). Часто быва­ет удобно пользоваться обозначением Ь ^ А («Ь больше или равно а») или А ^ Ь («а меньше или равно Ь», «а не превосходит Ь»), понимая под этим не что иное, как отрицание того, что А > Ь. Таким образом, можно написать 2 ^ 2, и можно также написать 3 ^ 2.

Мы можем еш^е несколько расширить область положительных целых чисел, которые мы изображаем ящичками с точками. Введем целое чис­ло Нул^ь, изображаемое совершенно пустым ящичком; условимся обозна­чать такой пустой ящичек обычным символом 0. Тогда, согласно нашему определению сложения и умножения, каково бы ни было целое число А, получаются соотношения

А + 0 = А, а ■ 0 = 0.

Действительно, А + 0 обозначает прибавление пустого ящичка к ящичку А, А А ■ 0 обозначает ящичек, в котором вовсе нет вертикальных рядов, т. е. пустой ящичек. Тогда уже вполне естественно расширить определение вы­читания, полагая

Страницы: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *