Алгебра. 9 класс : учеб, для общеобразоват. Организаций

Степень

C рациональным показателем

В Ы знакомы C определением степени с натуральным по­казателем:

А, а’= а.

П раз

При изучении теории приближённых вычислений ис­пользовали степени для представления чисел в стандарт­ном виде (например, 0,023 = 2,3 ■ Ю ^). Таким образом, вы уже знакомы с некоторыми степенями с отрицательными показателями.

Необходимость возведения чисел не только в нату­ральные степени возникла в XVI в. в связи с развитием дальнего мореплавания, так как потребовались усовер­шенствованные астрономические наблюдения и точные вычисления. Лишь к концу XVII в. понятие степени было обобщено до степени с дробным и отрицательным пока­зателями. В окончательном виде теорию степеней сфор­мулировал И. Ньютон.

C возведением чисел в различные степени мы часто сталкиваемся в повседневной жизни, при решении прак­тических задач. Например, при вычислении площадей приходится возводить числа в квадрат, при вычислении объёмов — в третью степень. Сила всемирного тяготе­ния, электростатическое и магнитное взаимодействия, свет и звук ослабевают пропорционально второй степени расстояния. В инженерных расчётах часто встречаются четвёртые и даже шестые степени величин. Яркость рас­калённого тела, например, при белом калении растёт про­порционально 12-й степени температуры.

В этой главе вы пройдёте путь математиков XVI— XVII BB., обобщивших понятие степени до степени с ра­циональным показателем. Познакомитесь с новой фор­мой записи квадратного корня из выражения. Узнаете о существовании корней других степеней и поймёте их взаимосвязь со степенями с рациональными показате­лями.

<⅝N^πeHb C целым показателем

Понятие отрицательного числа в арифметике вводилось для того, чтобы операция вычитания П-т была выполнима не только для п ≥ т, но и для П<т. Аналогично в алгебре вводится понятие сте­пени C отрицательным показателем для того, чтобы свойство де­ления степеней a"ra^ = a"^’" было выполнимо и при π<m. В этом параграфе будут введены понятия степени с целым отрицатель­ным и нулевым показателями. Знакомые вам свойства степени C натуральным показателем будут обобщены для степени с любым целым показателем.

Нужно вспомнить:

■ понятие степени с натуральным показателем;

■ свойства степени с натуральным показателем;

■ основное свойство дроби;

■ стандартный вид числа.

При рассмотрении свойств степени с натуральным показателем отмечалось, что свойство деления степеней

А" Za‘" = A"~’" (1)

Справедливо при П>т и A≠0.

Если n≤∕n, то в правой части равенства (1) показатель степени П — т отрицателен или равен нулю. Степень с отрицательным и C нулевым показателями определяют так, чтобы равенство (1) было верно не только при П> т, но и при л ≤ /л.

Например, если л = 2, /л = 5, то по формуле (1) получаем

= поэтому считают, что а~®=TT? S

Но А"’= -^ = ~ζ З — v, —

А® А"’

Определение 1. Для любого числа а, не равного нулю, и це­лого отрицательного числа —л

А»=

Примеры:

« 2"= ⅜ = ⅜= 2) ,-3)- ⅛ = ⅛ 3) (0,5)-= = 8.

Если n = zn, то по формуле (1) получаем о" : α" = α"^" = α°.

C другой стороны, А"’, а"=—— = 1. Поэтому считают, что а“ = 1.

Определение 2. Для любого числа А, не равного нулю, А° = 1.

Например, 3°=1, ^~∙∣∙^ = !•

Степени с отрицательными показателями уже использовались при записи чисел в стандартном виде.

Например: 0,00027 = 2,7 • = 2,7 • 10"-[*] *.

Все свойства степени с натуральным показателем справедливы и для степени с любым целым показателем.

Свойства Для любых α≠0, ft≠0 и любых целых Пит

Справедливы равенства:

1. 5.1^ =≤ ь i b''α"α’" = α’*÷"* 3. (a")"* = а""*

(α∂r= (aft)-[†] =

(αft)*

2. а^ъа® (1 + а)A^^ ∙.a∙^ = a^’~"’ 4. (αb)" = A’^b’^

Устные вопросы и задания

1. Сформулировать определение степени α^", где α≠0 и л — нату­ральное число.

2. Дать определение степени а°, если α≠0.

Страницы: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *